a) Восстановим кривые спроса и предложения (после его снижения). Кривую спроса легко восстановить по двум точкам (40; 20) и (50; 10). Получаем, что Q_d = 60 - P.

Пусть Q_s(P) = c + dP. Тогда, с одной стороны, Q_s(50) = 10, так как эта кривая проходит через точку равновесия P = 50, Q = 10. Значит, 10 = c + 50d. С другой стороны, из условия об эластичности получаем, что

5 = E_s = \frac{d}{c} = \frac{P}{Q} = \frac{50}{10} = 5d.

Значит, d = 1. Отсюда c = 10 - 50d = -40. В итоге Q_s(P) = P - 40.

После введения субсидии по ставке 10 кривая предложения сдвинется до Q_s(P + 10) = P + 10 - 40 = P - 30, где P — цена потребителя. Найдем новое равновесие 60 - P = P - 30, P = 45. Значит, цена будет равна 45, а не 40.

Кроме того, можно было получить ответ, формально не сдвигая кривую предложения, а из условия P_d(40) + 10 = P_s(Q), 60 - Q + 10 = Q + 40, Q = 15, P_d = 60 - Q = 45.

Ответ: 45.

б) Пусть теперь мы вводим субсидию по ставке s.

После введения субсидии кривая примет вид Q_s(P + s) = P + s - 40. Найдем новое равновесие 60 - P = P + s - 40, P = (100 - s)/2. Нам нужно, чтобы цена равнялась 40, то есть P = (100 - s)/2 = 40, s = 20.

Мы могли действовать проще: зная, что цена для потребителя должна быть 40, а количество = 20, мы могли сразу написать уравнение Q_s(40 + s) = 40 + s - 40 = Q_d(40) = 20 или P_d(40) + s = P_s(20), 60 - 20 + s = 20 + 40. Отсюда s = 20.

Наконец, найдем расходы на субсидию: Sub = sQ = 20 \times 20 = 400.

Ответ: s = 20, расходы равны 400.

Для пункта б) также есть короткое, но продвинутое решение. Оно не требует вывода кривой предложения, но требует знания формулы, аналогичной той, что связывает распределение налогового времени с эластичностями спроса и предложения. Пусть s_d — часть субсидии, которую в равновесии получает потребитель: s_d = P_0 - P_d, где P_0 — изначальная равновесная цена, P_d — цена потребителя после введения субсидии, s_s — часть субсидии, которую в равновесии получает производитель, s_s = P_s - P_0, где P_s — цена производителя после введения субсидии. s_s + s_d = s. Тогда

\frac{s_s}{s} = \frac{|E_d|}{E_s},

где E_d и E_s — эластичности спроса и предложения в начальной точке P_0. Эта формула верна для линейных функций спроса и предложения. Теперь заметим, что эластичность спроса в точке P = 10 по модулю равна 5.

Значит

\frac{s_s}{s_d} = \frac{5}{5} = 1.

Поскольку нам нужно добиться снижения цены потребителя на 10, s_d = 10. Значит, s_s = 10 и s = s_s + s_d = 20.

Рис. 6.1: Иллюстрация решения. Пункт а) слева, пункт б) справа. s = 20.

Также можно было восстановить кривую предложения способом, не требующим знания формулы точечной эластичности линейной функции. Пусть P_s(Q) — обратная функция предложения после его снижения, но до введения субсидии. Найдем P_s(20). Для этого представим себе увеличение цены P от 50 до P_s(20). Величина предложения при этом должна вырасти с 10 до 20. Значит, процентное изменение количества \Delta\%(Q) равно \frac{20 - 10}{10} \times 100 \% = 100 \%.

С другой стороны, из условия об эластичности предложения:

5 = E = \frac{\Delta \% (Q)}{\Delta \% (P)} = \frac{100 \%}{\Delta \% (P)}

(Формула E = \frac{\Delta \%(Q)}{\Delta \%(P)} в точности верна для линейных функций, где E — эластичность в первоначальной точке, этим фактом можно пользоваться без доказательства.) Значит, \Delta \%(P) = 20 \%, то есть при росте от 50 до P_s(20) цена растет на 20%. Значит, P_s(20) = 60.

Теперь можно восстановить кривую предложения по двум точкам, (P = 50, Q = 10) и (P = 60, Q = 20). Получаем Q_s = P - 40 или P_s = Q + 40.

Комментарий 1. Почему субсидия 10 д. е. недостаточна для снижения цены до 40? Дело в том, что субсидия в размере 10 д. е. будет достаточна лишь для того, чтобы производители были готовы произвести новое (маленькое) количество 10 по цене 40. Но по цене 40 потребители готовы купить 20 > 10 единиц. Возникший дефицит при P = 40 приведет к росту цены до 45, равновесной в пункте а). Чтобы этого не произошло, нужно, чтобы цена была равновесной, то есть чтобы производители были готовы произвести старое (большое) количество 20 по цене 40. Для достижения этого количества требуется уже более высокая субсидия, и величина необходимой «премии» сверх 10 д. е. зависит от эластичности предложения.

Ответом будет s = 20 при любой убывающей функции спроса, проходящей через старую и новую точки равновесия.