Уклонение от налогов
XXII век. "Объединенная звездолетостроительная корпорация" производит гражданские звездолеты нового поколения. В 2117 году фирма произвела и продала 29 звездолетов, что являлось максимально возможным для нее объемом производства.
В 2118 году инженеры нашли способ увеличить максимальный годовой объем производства на 1 звездолет; фирма воспользовалась этим способом, продав 30 звездолетов.
В ходе аудита выяснилось, что себестоимость (средние издержки) производства одного звездолета выросла в 2118 году на 20 млн руб. по сравнению с 2117 годом.
При этом функция издержек TC(Q) была в 2117 и 2118 году одной и той же. Обратная функция спроса на звездолеты P_d(Q) также не менялась, при этом известно, что она является нестрого убывающей. Фирма не осуществляет ценовую дискриминацию. В 2117 году компания отчиталась о чистой прибыли (до налогообложения) в размере 14,9 млрд руб.
Считая, что остальные данные верны, докажите, что фирма в отчете занизила уровень прибыли в 2117 году. Какую сумму, как минимум, недополучил бюджет в виде налога на прибыль в 2117 году, если ставка налога равна 20\% ?
(Считайте, что количество звездолетов может быть только целым числом.)
Ключевая идея: поскольку фирма воспользовалась предложением инженеров и произвела 30 -ый звездолет, MR(30)\geq MC(30).
Нам нужно из этого неравенства как-то получить неравенство на общую прибыль фирмы. Поэтому найдем, как в случае целочисленного выпуска связаны между собой величины, P_d и MR, MC и AC.
MR(Q) = TR(Q) - TR(Q - 1) = QP_d(Q) - (Q - 1)P_d(Q - 1) = P_d(Q - 1) - Q \cdot (P_d(Q - 1) - P_d(Q))
Аналогично получаем, что MC(Q) = AC(Q - 1) + Q \cdot (AC(Q) - AC(Q - 1))
Значит, неравенство MR(30)\geq MC(30) перепишется как
P_d(29) - 30 \cdot (P_d(29) - P_d(30)) \geq AC(29) + 30 \cdot (AC(30) - AC(29))
Или:
P_d(29) - AC(29) \geq 30 \cdot (P_d(29) - P_d(30) + AC(30) - AC(29))
Значит,
\pi(29) = 29 \cdot (P_d(29) - AC(29)) \geq 29 \cdot 30 \cdot (P_d(29) - P_d(30) + AC(30) - AC(29))
Величина P_d(29)-P_d(30) является неотрицательной, так как функция спроса убывает; AC(30)-AC(29)=0,02 из условия.
Окончательно получаем, что \pi(29) \geq 29 \cdot 30 \cdot 0{,}02 = 17{,}4
Поскольку фирма указала в отчете \pi (29)=14,9<17,4, она занизила уровень прибыли.
Граница \pi (29)=17,4 достигается, например, если
TC(Q) = \begin{cases} a \cdot Q, & Q \leq 29; \\ (a + 0{,}6) \cdot (Q - 29) + a \cdot 29, & Q \geq 30; \end{cases}
для некого a>0 и P_d(Q)=a+0,6 независимо от Q. В этом случае все данные из условия (AC(30)-AC(29)=0,02, оптимальные объёмы в 2117 и 2118 году равны 29 и 30 соответственно) выполнены, и при этом \pi(29) = (a + 0{,}6) \cdot 29 - a \cdot 29 = 17{,}4.
Значит, минимальная недополученная сумма налога равна (17,4-14,9)/5=0,5 млрд. руб. (Налог на прибыль никак не влияет на максимизационную задачу фирмы, и поэтому выше мы его не вводили явно.)
Ответ: 500 млн. руб.
Альтернативное решение: вместо MR(30)\geq MC(30) можно было записать эквивалентное условие \pi (30)\geq \pi (29), и непосредственно работать с этим неравенством.
На это второе решение никак не влияет целочисленность. Действительно, можно доказать, что если есть два выпуска Q_1 и Q_2>Q_1, не обязательно целые, но такие, что \pi (Q_2)\geq \pi (Q_1), то
\frac{\pi(Q_1)}{Q_1} - \frac{1}{Q_2} \geq \frac{\pi(Q_1)}{Q_1} - \frac{\pi(Q_2)}{Q_2} \geq \frac{TC(Q_2)}{Q_2} - \frac{TC(Q_1)}{Q_1}
Или: \pi(Q_1) \geq \frac{Q_1 Q_2}{Q_2 - Q_1} \left(AC'(Q_2) - AC'(Q_1)\right)