Задача 1 ОЧ-2015 (9 класс)
Фирма «Гринэкспорт» выращивает огурцы в деревне A и может продать их в любом из девяносто восьми городов: B_1, B_2,...B_{98}. Город B_1 находится на расстоянии одного километра от деревни A, город B_2 — на расстоянии двух километров, город B_3 — на расстоянии трех километров и так далее. К сожалению, в процессе транспортировки огурцы успевают усохнуть, поэтому их вес при продаже меньше, чем при закупке. В начале транспортировки огурцы состоят из воды на 99\%, а в результате транспортировки огурцов на t километров массовая доля воды в них падает до (99-t)\%. В тоже время, чем дальше увезти огурцы от деревни A, тем дороже их можно продать: в городе B_t один килограмм огурцов стоит 18t+18t^2 рублей. Транспортировка одной тонны огурцов, закупленных в деревне A, на расстояние, равное t километров, обходится фирме в 1000*t_2 рублей. Других издержек фирма не несет. В каком городе следует продавать огурцы фирме «Гринэкспорт», чтобы получить наибольшую прибыль от продажи одной тонны огурцов?
Доля содержания воды= \frac{\text{Вода}}{\text{Вода} + \text{Не Вода}} = \frac{99 - t}{100}
Рассмотрим, как меняется масса 1 кг огурцов. Масса Не Воды =0,1 кг.
Тогда \frac{\text{Вода}}{\text{Вода} + 0,01} = \frac{99 - t}{100}
\text{Вода} = 0{,}01 \cdot \frac{99 - t}{1 + t}
Таким образом масса огурца будет равна НеВода+Вода=
0{,}01 + 0{,}01 \cdot \frac{99 - t}{1 + t} = 0{,}01 \left( \frac{1 + t + 99 - t}{1 + t} \right) = \frac{1}{1 + t}
Один «изначальный» килограмм огурцов после транспортировки на t километров весит \frac{1}{1+t} кг.
Таким образом, прибыль от продажи одной тонны огурцов в городе B_t составляет:
p * q - TC = (18t + 18t^2) * \frac{1000}{1 + t} - 1000 * t^2 = 1000 * (18t - t^2)
Это парабола с ветвями, направленными вниз, максимум которой достигается при t=9.
Ответ:
В городе B_9.