Задача 1 ОЧ-2015 (9 класс)
Фирма «Гринэкспорт» выращивает огурцы в деревне и может продать их в любом из девяносто восьми городов: Город находится на расстоянии одного километра от деревни , город — на расстоянии двух километров, город — на расстоянии трех километров и так далее. К сожалению, в процессе транспортировки огурцы успевают усохнуть, поэтому их вес при продаже меньше, чем при закупке. В начале транспортировки огурцы состоят из воды на , а в результате транспортировки огурцов на километров массовая доля воды в них падает до . В тоже время, чем дальше увезти огурцы от деревни , тем дороже их можно продать: в городе один килограмм огурцов стоит рублей. Транспортировка одной тонны огурцов, закупленных в деревне , на расстояние, равное километров, обходится фирме в рублей. Других издержек фирма не несет. В каком городе следует продавать огурцы фирме «Гринэкспорт», чтобы получить наибольшую прибыль от продажи одной тонны огурцов?
Ответ
Доля содержания воды
Рассмотрим, как меняется масса кг огурцов. Масса Не Воды кг.
Тогда
Таким образом масса огурца будет равна НеВода+Вода
Один «изначальный» килограмм огурцов после транспортировки на километров весит кг.
Таким образом, прибыль от продажи одной тонны огурцов в городе составляет:
Это парабола с ветвями, направленными вниз, максимум которой достигается при .
Ответ:
В городе .