Задача 4. РЭ ПОШ - 2022 (8-9 класс)
В стране Льда и Снега производится жизненно необходимый товар – обогреватели. Иначе бы все неизбежно там замерзли. Известно, что там обитают две группы населения: снеговички и олени. У первых спрос задаётся линейной функцией с отрицательным наклоном, в то время как у вторых спрос характеризуется постоянной эластичностью. Известно, что издержки единственной фирмы на рынке равны TC=10Q+100. Сейчас рынок находится в равновесии, но больше узнать без Вашей помощи не удалось. Вам нужно помочь экономисту Пшеничкину, недавно вышедшему на пост главного экономиста страны, найти необходимую информацию для регулирования данного рынка.
а) ( 10 баллов) Известно, что если цена на рынке обогревателей равна 5, то эластичность спроса снеговичков равна по модулю 0,5. Величина спроса при такой цене в три раза больше, чем максимальная цена покупки (минимальная цена, при которой величина спроса равна нулю) у этой группы населения. Выведите функцию спроса снеговичков на обогреватели.
б) ( 20 баллов) Если бы фирма-монополист продавала товар исключительно оленям, то цена на рынке сложилась бы на том же уровне, как если бы товар продавали только снеговичкам. И при такой цене расходы оленей на покупку обогревателей были бы равны(0,08)^4. Выведите функцию спроса оленей на обогреватели.
а) Функция спроса в общем виде:
Q = a - bP \Rightarrow E = \frac{-bP}{a - bP} = \frac{-P}{P_{\text{max}} - P} = \frac{-1}{2} \Rightarrow \frac{5}{P_{\text{max}} - 5} = \frac{1}{2} \Rightarrow P_{\text{max}} = 15
Известно, что при P=5 будет Q=15\cdot 3=45
По двум точкам восстановим спрос: \begin{cases} 0 = a - 15b, \\ 45 = a - 5b \end{cases}
Получили a=4,5 и b = 6.75 \Rightarrow Q_c = 67.5 - 4.5P или P = \frac{135 - 2Q}{9}
б) По индексу Лернера: MC=10 и MR_c = \frac{135 - 4Q}{9}
Если только снеговичкам: MR_c = MC \Rightarrow \frac{135 - 4Q}{9} = 10 \Rightarrow Q = 11.25 \Rightarrow P = 12.5
По индексу Лернера: \frac{P - MC}{P} = \frac{1}{|E|} \Rightarrow \frac{12.5 - 10}{12.5} = \frac{1}{5} \Rightarrow E = -5 у оленей.
Тогда, если эластичность постоянная, Q = \frac{a}{P^5} \Rightarrow TR = PQ = \frac{a}{P^4} = \frac{a}{\left(\frac{25}{2}\right)^4} = (0.08)^4 получаем a = 1 и Q = \frac{1}{P^5}.