Винтики и Шпунтики
Фирма Винтик&Co продает винтики по цене x за штуку и является монополистом на этом рынке. Спрос на винтики задается функций Q=360-P. Главной деталью для изготовления каждого винтика являются шпунтик, и кроме как стоимость шпунтика других переменных издержек не требуется. Винтик&Со закупает шпунтики у фирмы Шпунтик&Co по цене y за шпунтик. Предельные издержки изготовления одного шпунтика постоянны и равны 40, фиксированных издержек нет. Найдите x и y, если известно, что больше никакие другие фирмы не производят ни шпунтики, ни винтики.
Шпунтик&Со устанавливает цену на шпунтики, которую Винтик&Со воспринимает, как средние переменные издержки производства каждого винтика. Винтик&Со в свою очередь устанавливает цену на винтики, максимизируя свою прибыль:
\pi_B = (360 - x)(x - y) = -x^2 + x(y + 360) - 360y
Вершина параболы по формуле -b/2a определяет максимум:
x = \frac{y + 360}{2}
По такой цене будет произведено и куплено: Q=\frac{360-y}{2} винтиков.
Для фирмы Шпунтик&Co это уравнение задаёт спрос на её продукцию. Фирма также устанавливает цену y максимизируя свою прибыль:
\pi_{\text{Ш}} = (y - 40) \cdot \frac{360 - y}{2} = -0.5y^2 + 200y - 7200
По формуле вершины параболы однозначно определяется y для достижения максимума прибыли:
y = 200 \rightarrow x = 280
Ответ:
x=280, y=200.