Решение:

Задача Фёдора: M = p_1q_1 + p_2q_2 \rightarrow min

\frac{100}{q_1} + q_2 = 100

Подставляем второе в первое, находим минимум функции (квадратного трёхчлена относительно \sqrt{q1} с ветвями вверх):

\left\{ \begin{aligned} q_1 &= 25 \frac{p_2^2}{p_1^2} \\ q_2 &= 100 - 50 \frac{p_2^2}{p_1} \end{aligned} \right. \quad \text{или} \quad \left\{ \begin{aligned} q_1 &= \frac{625}{p_1^2} \\ q_2 &= 100 - \frac{250}{p_1} \end{aligned} \right.

(+3 балла за любое представление, за необоснованность типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл)

Также можно воспользоваться свойством предельных полезностей \frac{MUq1}{MUq2} = \frac{p1}{p2} без минимизации самой функции (в этом случае также ставится полный балл, при данном решении при отсутствии указания на то, что MU(q1) убывает, а MU(q2) постоянна, или иное обоснование типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл).

Теперь рассмотрим прибыль монополиста: p = p_1q_1 - 2,5q_1 = 25q_1 - 2,5q_1^2.

Прибыль – парабола ветвями вниз относительно \sqrt{q1}, максимум достигается в точке \sqrt{q1} = 5 \Rightarrow q1 = 25 (+4 балла, за отсутствие объяснения – минус 1 балл).

Тогда q2 = 50, p1 = 5. Расходы Фёдора составляют: M = 5 \times 25 + 5 \times 50 = 375. Прибыль «МалютЖивотноСтроя»: \pi = 5 \times 25 − 2,5 \times 25 = 62,5.

Новая задача Фёдора выглядит, как: \left\{ \begin{aligned} \tilde{M} &= 0,9 \times (p_1 q_1 + p_2 q_2) \to \min \\ 10 \sqrt{q_1} + q_2 &= 100 \end{aligned} \right.

Оптимальные значения q1 и q2 не изменятся, так как целевую функцию просто умножили на положительное число (+2 балла)

То есть прибыль «МалютЖивотноСтроя» также не изменится (+1 балл)

При этом расходы Фёдора станут равны M = 0,9 \times 375 = 337,5 (+ 1 балл)

Фёдор сэкономит: 375 − 337,5 = 37,5