Государство Малютка
В небольшом государстве Малютка живёт Фёдор, которому нравится ухаживать за домашними животными. Для этого он покупает им домики (q1) и корм (q2). Чтобы животным было уютно, необходимо выполнение условия . При этом Фёдор старается потратить на уход за животными как можно меньше денег, потому что ему нужно ещё и содержать семью, однако для уюта животных денег всегда хватает. Корм Федор всегда покупает у друга по цене 5 мальков (денежная единица государства Малютка) за ед. корма. А вот домики делает лишь одна компания «МалютЖивотноСтрой», тратя на каждый домик 2,5 малька (домики не обязательно должны быть целыми). Других покупателей у фирмы нет. При этом цену домика Фёдор воспринимает как заданную, не зависящую от его решений. Правительство страны Малютка тоже заботится об уюте домашних животных. Так, решено было выделить Фёдору грант в размере 10 % от всех денег, что он потратит на содержание домашних животных. Как такое решение скажется на прибыли «МалютЖивотноСтроя»? Сколько денег сэкономит Фёдор? Дайте количественную оценку этих показателей.
Ответ
Решение:
Задача Фёдора:
Подставляем второе в первое, находим минимум функции (квадратного трёхчлена относительно с ветвями вверх):
(+3 балла за любое представление, за необоснованность типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл)
Также можно воспользоваться свойством предельных полезностей без минимизации самой функции (в этом случае также ставится полный балл, при данном решении при отсутствии указания на то, что MU(q1) убывает, а MU(q2) постоянна, или иное обоснование типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл).
Теперь рассмотрим прибыль монополиста: .
Прибыль – парабола ветвями вниз относительно , максимум достигается в точке = 5 q1 = 25 (+4 балла, за отсутствие объяснения – минус 1 балл).
Тогда q2 = 50, p1 = 5. Расходы Фёдора составляют: M = 5 25 + 5 50 = 375. Прибыль «МалютЖивотноСтроя»: = 5 25 − 2,5 25 = 62,5.
Новая задача Фёдора выглядит, как:
Оптимальные значения q1 и q2 не изменятся, так как целевую функцию просто умножили на положительное число (+2 балла)
То есть прибыль «МалютЖивотноСтроя» также не изменится (+1 балл)
При этом расходы Фёдора станут равны M = 0,9 375 = 337,5 (+ 1 балл)
Фёдор сэкономит: 375 − 337,5 = 37,5