Задача 3. РЭ ПОШ - 2022 (8-9 класс)
Юный художник Яша увлекается необычными стилями рисования. Для создания картин он использует холсты (x) и уголь (y). В регионе, где живет Яша, есть много художников, поэтому холсты стали редким товаром и их рынок решили регулировать. Если покупатель приобретает менее 10 холстов, то цена каждого из них составляет 10 фубликов. Если же покупатель захочет приобрести больше 10 холстов, то за каждый дополнительно приобретенный холст необходимо заплатить цену 10 фубликов и налог в размере еще 10 фубликов. Стоимость угля составляет 10 фубликов независимо от объёма покупки. Без творчества Яша сильно страдает; его функция полезности имеет вид U=16x-x^2-y^2+70y-919. Бюджет, который юный художник выделил на творчество, составляет 500 фубликов.
а) ( 5 баллов) Постройте границу бюджетного ограничения Яши до введения налога и укажите координаты всех ключевых точек.
б) ( 10 баллов) Постройте границу бюджетного ограничения Яши после введения налога и укажите координаты всех ключевых точек.
в) ( 15 баллов)Найдите, сколько холстов (x) и угля (y) будет покупать Яша, если налог введён и он максимизирует свою функцию полезности. Чему равна его максимальная полезность?
а) Построим бюджетное ограничение до введения налога. X_{max}=500/10=50 ( 1 балл), Y_{max}=500/10=50 ( 1 балл). Цены постоянны, альтернативная стоимость постоянна. Бюджетное ограничение имеет вид y=50-x ( 2 балла).
Графическая иллюстрация ( 1 балл):
При правильном альтернативном решении пункта с пояснениями ставится полный балл за пункт. Если не обозначены крайние точки, снимается по 1 баллу за каждую крайнюю точку.
б) Построим бюджетное ограничение до введения налога: при X\leq 10 выглядит идентично. На 10 единиц x потребитель тратит 100 фубликов. Оставшиеся 400 фубликов можно разделить между x и y при новой цене P_x=20 ( 1 балла). Максимально можно купить дополнительно X_{max}=400/20=20 ( 1 балл) или Y_{max}=400/10=40 ( 1 балл). X_{max}=10+20=30 ( 1 балл). Бюджетное
ограничение имеет вид
y = \begin{cases} 50 - x, & x \leq 10, \\ 60 - 2x, & x \in (10; 30]. \end{cases} ( 3 балла)
Графическая иллюстрация ( 3 балла):
Если заштриховали внутреннюю область, снимается 1 балл
При правильном альтернативном решении пункта с пояснениями ставится полный балл за пункт. Если не обозначены точки излома, снимается по 1 баллу за каждую.
в) Для решения этого пункта необходимо преобразование функции полезности. Заметим,
что в функции полезности можно выделить полные квадраты. U=16x-x^2-y^2-70y+919=370-(x-8)^2-(y-40)^2 ( 7 баллов). Максимум функции достигается в точке x=8, y=35 ( 3 балла). Эта точка лежит под бюджетным ограничением, однако является наиболее оптимальной для потребителя (точка насыщения) ( 2 балла). Из-за того, что полезность не возрастает монотонно ни по одной переменной, в оптимуме потребитель тратит не весь свой доход. Это согласуется с бюджетным ограничением, т.к. бюджетное ограничение задается неравенством ( 2 балла).
U_{max}=370 ( 1 балл)