Лишь первое место имеет значение
В муниципалитете на повестку дня был поставлен вопрос о том, какую часть средств местного бюджета следует направить на развитие спорта. От депутатов поступило три предложения: (1) сохранить прежний объем финансирования, (2) увеличить финансирование на 20%, (3) увеличить финансирование на 50%. В местной думе всего 7 депутатов. В соответствии с существующей процедурой решение принимается так: каждый из депутатов ранжирует поступившие предложения в порядке убывания предпочтительности. Побеждает предложение, которое на первое место в рейтинге поставило наибольшее число депутатов (если таких предложений несколько, то среди них выбирается предложение с наименьшим номером). В данном случае оказалось, что победило второе предложение.
Однако после того как все рейтинги были составлены, поступила информация о том, что доходы местного бюджета оказались ниже запланированных, а потому было решено снять с повестки голосования 3-е предложение (о 50%-ном увеличении расходов). При этом решено заново предложения не ранжировать, а просто автоматически вычеркнуть в рейтинге каждого депутата третье предложение. Секретарь, производившая расчеты, обнаружила, что в новых условиях побеждает первая альтернатива. Будучи уверенной, что такого быть не может, она решила перепроверить результаты.
Возможно ли, что расчеты секретаря верны? Приведите пример соответствующих рейтингов депутатов либо докажите, что подобное изменение выбора невозможно.
Ответ
Прежде чем отвечать на вопрос задачи, надо убедиться в том, что вы поняли процедуру принятия решения. Для этого нужно произвольным образом задать предпочтения всех депутатов и вычислить, какая альтернатива победит.
Если разобрались с процедурой, можно начинать думать: возможно ли, что вычёркивание невыбранной альтернативы изменит коллективный выбор? Заметим, что для того, чтобы вычислить коллективный выбор, достаточно узнать у депутатов лишь то, какая альтернатива для них лучшая; то, как они ранжируют остальные альтернативы между собой, не имеет значения. Отсюда получаем вывод, что если мы вычеркнем альтернативу, которую никто не ставит на первое место, то коллективный выбор не изменится. Значит, искать пример нужно так, чтобы хоть кто-то поставил на первое место альтернативу 3. Дальше нетрудно догадаться, что этот кто-то должен иметь на втором месте альтернативу 1: тогда после вычёркивания альтернативы 3 она встанет на первое место и получит шанс победить альтернативу 2.
Пример можно построить, разделив людей на три группы (внутри группы предпочтения одинаковы).
Знаки вопроса заменяйте как хотите, это ни на что не повлияет. До вычёркивания 3-й альтернативы побеждает альтернатива 2: за неё 3 голоса, а за остальные – по 2 голоса. После вычёркивания 4 голоса имеет альтернатива 1, тем самым опережая альтернативу 2.