а)

1) Предположим, в классе есть честные школьники, то есть X>0. В первом месяце каждый такой школьник (X−1) раз встретился с себе подобными (и каждый раз получил 10) и Y раз – со списывальщиками (и каждый раз получил −10). Таким образом, его выигрыш был равен

U_d = 10(X - 1) - 10Y

Если он в первом месяце следовал бы другой норме, то честных школьников стало бы (X−1), а списывающих –– (Y+1), и выигрыш переключившегося школьника был бы равен (5(X−1)−15)

(с учетом моральных издержек). Честный школьник останется честным, если

10(X−1)−10Y \geq 5(X−1)−15

то есть (с учётом того, что (Y=22−X X \geq 14 ). Если же X<14, то есть честных школьников достаточно мало, то все они переключатся на нечестное поведение в следующем месяце.

2) Предположим, в классе есть списывающие школьники, то есть Y>0. В первом месяце каждый такой школьник (Y−1) раз встретился с себе подобными (и каждый раз получил 0) и X раз – с честными (и каждый раз получил 5). Таким образом, его выигрыш был равен

U_с=5X

Если он в первом месяце следовал бы другой норме, то честных школьников стало бы (X+1), а списывающих – (Y−1), и выигрыш переключившегося школьника был бы равен (10X−10(Y−1)). Списывающий школьник останется списывающим, если

5X \geq 10X−10(Y−1)

то есть (с учётом того, что Y=22−X X \leq 14. Если же X>14, то есть честных школьников достаточно много, то в следующем месяце все нечестные станут честными.

Из предыдущего рассуждения следует, что если в классе ровно 14 честных школьников, то их количество будет стабильно — никто не захочет переключаться. Если же честных больше 14, то уже в следующем месяце все станут честными (а дальше ничего не будет меняться, так как 22 тоже больше 14). Если честных меньше 14, то во втором месяце все будут списывать (а дальше ничего не будет меняться, так как 0 тоже меньше 14).

б) В предыдущем пункте мы выяснили, что есть три типа равновесных классов: X=0, X=14 и X=22.

Если класс находился в равновесиях X=0 или X=22, то ничего не произойдет: переключения Вовочки недостаточно, чтобы развернуть соответствующие неравенства.

Если класс находился в равновесии X=14 и Вовочка был честным школьником, то его переключение на нечестную норму сделает X<14. В следующем месяце все честные школьники станут списывальщиками, все списывальщики останутся списывальщиками и класс навсегда окажется в равновесии X=0.

Если класс находился в равновесии X=14 и Вовочка был списывальщиком, то его переключение на честную норму сделает X>14. В следующем месяце все списывальщики станут честными, все честные останутся честными и класс навсегда окажется в равновесии X=22.

в) Самое предпочтительное равновесие – то, в котором X=22, то есть все школьники честные. В этом случае каждый школьник каждый день получает максимально возможный выигрыш, так что любая другая конфигурация хуже по крайней мере для кого-то.

Как стимулировать списывальщика становиться честным? Как следует из расчетов пункта а), нужно делать так, чтобы он сидел с честным школьником не менее 15 дней из 21. При этом злоупотреблять этим не стоит: если честный школьник будет слишком часто (больше 7 дней в месяц) сидеть с нечестными, он «заразится» списыванием от них.

Если в классе нет честных школьников (X=0), то пересаживание не поможет: никто из них никогда не будет сидеть с честным, так что не изменит свой тип. Также не получится достичь хорошего равновесия, если X=1: единственный честный школьник в любом случае весь месяц просидит со списывальщиками и уже в следующем месяце наступит самое плохое равновесие.

Если X=2, то увеличить количество честных учеников также не получится. Для того чтобы «обратить» хотя бы одного списывальщика, нужно, чтобы как минимум 15 дней с ним сидел кто-то из двух честных школьников. Значит, эти 15 дней честные не будут сидеть друг с другом. Получается, что друг с другом они будут сидеть не более 6 дней, так что оба они превратятся в списывальщиков, и мы вернемся к ситуации X=1.

А вот при X=3 хорошего равновесия достичь можно. Покажем, как из трех честных школьников через месяц получить четыре. Нужно сделать рассадку так, чтобы каждый из трех честных школьников провел с одним и тем же нечестным по 5 дней, при этом остальные двое будут сидеть друг с другом. Тогда после 15 дней нечестный станет честным. Чтобы честные тоже не сменили тип, нужно, чтобы в оставшиеся 6 дней по 2 дня вместе сидели все возможные пары: (1, 2), (2, 3) и (1, 3). Тогда каждый честный школьник проведет с себе подобными по 14 дней, чего как раз достаточно, чтобы не сменить тип.

Дальше каждый месяц действуем следующим образом. Действуя аналогично приведенной выше схеме, три школьника превратят одного списывающего в честного, при этом сами останутся честными. Каждого из оставшихся честных школьников будем сажать с одним и тем же одноклассником. Если он будет сидеть целый месяц с честным, то они оба останутся честными. Если он будет сидеть целый месяц со списывающим, то через месяц они поменяются типами. В обоих случаях общее число честных школьников по итогам месяца увеличится на 1. Продолжить превращать списывальщиков в честных одного за другим, пока все в классе не станут честными.