Списывать - норма?
Распространение культурных норм – сложный процесс, который, по мнению некоторых исследователей, основан на копировании признаков окружающих. Причем часто этот процесс идет неосознанно, и распространенным ответом, например, на вопрос «Почему ты говоришь с таким акцентом?» будет «тут все так говорят», а не «я рассмотрел ряд возможных акцентов и понял, что наибольший выигрыш мне приносит именно этот». Такой выбор вполне может оказаться рациональным, при том что сама норма может быть неэффективной, но устойчивой.
В этой задаче мы исследуем распространение нормы «списывать» в школьной среде. Будем считать, что есть два типа школьников: те, кто честно готовятся к проверочным работам и не списывают, а также те, кто не готовятся и списывают со шпаргалок.
Если два честных школьника сидят рядом на проверочной работе, то они честно пишут эту работу и даже получают удовольствие от своей честности. Будем считать, что каждый из них в этом случае получает выигрыш (полезность), равный 10. Если же два списывающих школьника сидят рядом, то, во-первых, у них получается хуже написать, а во-вторых, они нервничают, мешают друг другу и привлекают внимание, из-за чего выигрыш каждого равен 0. В случае, когда списывающий и честный сидят рядом, списывающий получает выигрыш 5, так как списал работу и не сильно привлекал к себе внимание, а честный получает выигрыш (-10), так как не мог ничего нормально решать из-за вопиющей несправедливости, которая творилась рядом с ним.
Учитель борется со списыванием путем постоянного пересаживания школьников. В классе 22 ученика, и в течение месяца (21 учебный день) каждый успевает посидеть с каждым одноклассником за партой по одному разу. По итогам месяца каждый школьник сравнивает полученный суммарный выигрыш с тем выигрышем, который он получил бы, если бы весь месяц вел себя по-другому (с учетом того, как вели себя одноклассники). Если в прошлом месяце ученик списывал, а, будучи честным, получил бы выигрыш строго больше, в следующем месяце он не будет списывать. Если он в прошлом месяце был честным, то выбор нечестного поведения связан с моральными издержками, так что он переключится, только если общий выигрыш от переключения в прошлом месяце вырос бы более чем на 15. Если эти условия не выполняются, то ученик сохраняет свой тип на следующий месяц.
а) (15 баллов) Пусть в первом месяце в классе было X честных и Y списывающих школьников (X и Y могут принимать любые целые неотрицательные значения, такие что X+Y=22). Как будет меняться количество школьников каждого типа в следующие месяцы?
б) (5 баллов) Назовем равновесным классом такой, в котором никто из школьников по итогам месяца не станет менять свой тип. Предположим, что класс был равновесным, когда один из учеников (назовем его Вовочка) на один месяц поменял свой тип ни с того ни с сего (после этого месяца он снова станет обычным учеником, рационально сравнивающим выгоды). Как будет меняться количество школьников каждого типа в следующие месяцы?
в) (10 баллов) Если вы правильно решили пункты а) и б), то у вас должно было получиться, что существует несколько типов равновесных классов, причем один из них является самым предпочтительным для каждого школьника. Предположим, учитель изначально знает, к какому типу принадлежит каждый школьник, и может составлять любой план рассадки на каждый день (необязательно делать так, чтобы каждый сидел с каждым в течение месяца). При каком минимальном значении X учителю удастся добиться, чтобы через конечное число месяцев класс оказался в предпочтительном равновесии?
а)
1) Предположим, в классе есть честные школьники, то есть X>0. В первом месяце каждый такой школьник (X−1) раз встретился с себе подобными (и каждый раз получил 10) и Y раз – со списывальщиками (и каждый раз получил −10). Таким образом, его выигрыш был равен
U_d = 10(X - 1) - 10Y
Если он в первом месяце следовал бы другой норме, то честных школьников стало бы (X−1), а списывающих –– (Y+1), и выигрыш переключившегося школьника был бы равен (5(X−1)−15)
(с учетом моральных издержек). Честный школьник останется честным, если
10(X−1)−10Y \geq 5(X−1)−15
то есть (с учётом того, что (Y=22−X X \geq 14 ). Если же X<14, то есть честных школьников достаточно мало, то все они переключатся на нечестное поведение в следующем месяце.
2) Предположим, в классе есть списывающие школьники, то есть Y>0. В первом месяце каждый такой школьник (Y−1) раз встретился с себе подобными (и каждый раз получил 0) и X раз – с честными (и каждый раз получил 5). Таким образом, его выигрыш был равен
U_с=5X
Если он в первом месяце следовал бы другой норме, то честных школьников стало бы (X+1), а списывающих – (Y−1), и выигрыш переключившегося школьника был бы равен (10X−10(Y−1)). Списывающий школьник останется списывающим, если
5X \geq 10X−10(Y−1)
то есть (с учётом того, что Y=22−X X \leq 14. Если же X>14, то есть честных школьников достаточно много, то в следующем месяце все нечестные станут честными.
Из предыдущего рассуждения следует, что если в классе ровно 14 честных школьников, то их количество будет стабильно — никто не захочет переключаться. Если же честных больше 14, то уже в следующем месяце все станут честными (а дальше ничего не будет меняться, так как 22 тоже больше 14). Если честных меньше 14, то во втором месяце все будут списывать (а дальше ничего не будет меняться, так как 0 тоже меньше 14).
б) В предыдущем пункте мы выяснили, что есть три типа равновесных классов: X=0, X=14 и X=22.
Если класс находился в равновесиях X=0 или X=22, то ничего не произойдет: переключения Вовочки недостаточно, чтобы развернуть соответствующие неравенства.
Если класс находился в равновесии X=14 и Вовочка был честным школьником, то его переключение на нечестную норму сделает X<14. В следующем месяце все честные школьники станут списывальщиками, все списывальщики останутся списывальщиками и класс навсегда окажется в равновесии X=0.
Если класс находился в равновесии X=14 и Вовочка был списывальщиком, то его переключение на честную норму сделает X>14. В следующем месяце все списывальщики станут честными, все честные останутся честными и класс навсегда окажется в равновесии X=22.
в) Самое предпочтительное равновесие – то, в котором X=22, то есть все школьники честные. В этом случае каждый школьник каждый день получает максимально возможный выигрыш, так что любая другая конфигурация хуже по крайней мере для кого-то.
Как стимулировать списывальщика становиться честным? Как следует из расчетов пункта а), нужно делать так, чтобы он сидел с честным школьником не менее 15 дней из 21. При этом злоупотреблять этим не стоит: если честный школьник будет слишком часто (больше 7 дней в месяц) сидеть с нечестными, он «заразится» списыванием от них.
Если в классе нет честных школьников (X=0), то пересаживание не поможет: никто из них никогда не будет сидеть с честным, так что не изменит свой тип. Также не получится достичь хорошего равновесия, если X=1: единственный честный школьник в любом случае весь месяц просидит со списывальщиками и уже в следующем месяце наступит самое плохое равновесие.
Если X=2, то увеличить количество честных учеников также не получится. Для того чтобы «обратить» хотя бы одного списывальщика, нужно, чтобы как минимум 15 дней с ним сидел кто-то из двух честных школьников. Значит, эти 15 дней честные не будут сидеть друг с другом. Получается, что друг с другом они будут сидеть не более 6 дней, так что оба они превратятся в списывальщиков, и мы вернемся к ситуации X=1.
А вот при X=3 хорошего равновесия достичь можно. Покажем, как из трех честных школьников через месяц получить четыре. Нужно сделать рассадку так, чтобы каждый из трех честных школьников провел с одним и тем же нечестным по 5 дней, при этом остальные двое будут сидеть друг с другом. Тогда после 15 дней нечестный станет честным. Чтобы честные тоже не сменили тип, нужно, чтобы в оставшиеся 6 дней по 2 дня вместе сидели все возможные пары: (1, 2), (2, 3) и (1, 3). Тогда каждый честный школьник проведет с себе подобными по 14 дней, чего как раз достаточно, чтобы не сменить тип.
Дальше каждый месяц действуем следующим образом. Действуя аналогично приведенной выше схеме, три школьника превратят одного списывающего в честного, при этом сами останутся честными. Каждого из оставшихся честных школьников будем сажать с одним и тем же одноклассником. Если он будет сидеть целый месяц с честным, то они оба останутся честными. Если он будет сидеть целый месяц со списывающим, то через месяц они поменяются типами. В обоих случаях общее число честных школьников по итогам месяца увеличится на 1. Продолжить превращать списывальщиков в честных одного за другим, пока все в классе не станут честными.