а) Поиск кривой предложения вида Q^s(p)=a+bp :

расчет параметра – 1 балл.

расчет параметра – 6 баллов.

Поскольку кривая предложения линейна Q^s(p)=a+bp и обладает единичной эластичностью, то

\varepsilon_p^s(p) = \frac{dQ^s(p)}{dp} \frac{p}{Q} = \frac{b p}{a + b p} = 1,

откуда заключаем, что a=0.

Так как в равновесии величина совокупного спроса равна величине предложения, то 15+5+q_3^d(10)=10b, откуда q_3^d(10)=10(b-2). Поскольку функции спроса агентов линейны (q_3^d(p)=\alpha_i-\beta_i p), то наклон в каждой точке постоянен и может быть определен на основе информации об эластичности в заданной точке:

\varepsilon_i^d = \frac{dq_i^d(p)}{dp} \frac{p}{q_i^d(p)} = -\frac{\beta_i p}{q_i^d(p)}, откуда \beta_i = \frac{\varepsilon_i^d \times q_i^d(p)}{p}. Таким образом, находим:

\beta_1 = \frac{2 \times 15}{10} = 3, \ \beta_2 = \frac{6 \times 5}{10} = 3, \ \beta_3 = \frac{1 \times q_3(10)}{10} = b - 2.

Эластичность рыночного спроса можно представить в виде:

\epsilon^Q(p) = \left( \frac{dq_1^d(p)}{dp} + \frac{dq_2^d(p)}{dp} + \frac{dq_3^d(p)}{dp} \right) \frac{p}{Q^d(p)} = -(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3) \frac{p}{Q^d(p)}

Оценивая эластичность при p=10, находим

Q^d(10) = -(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3) \frac{10}{\epsilon^Q(10)} = \frac{10}{2} (6 + b - 2) = 5b + 20.

Поскольку в равновесии величина совокупного спроса равна величине предложения, то

10b=Q^S(10)=Q^d(10)=5b+20 или b=4.

Таким образом, \beta_3=2 и q_3^d(10)=10(b-2)=20.

Поиск кривой рыночного спроса - 5 баллов.

По углу наклона и точке восстанавливаем уравнение прямой, задающее спрос соответствующей группы:

\alpha_i = q_i^d(10) + 10 \beta_i \text{ или} \newline \alpha_1 = 15 + 10 \times 3 = 45, \quad \alpha_2 = 5 + 10 \times 3 = 35, \quad \alpha_3 = 20 + 10 \times 2 = 40. \newline \text{Итак, } q_1^d(p) = 45 - 3p, \quad q_2^d(p) = 35 - 3p, \quad q_3^d(p) = 40 - 2p.

Совокупный (рыночный) спрос примет вид

Q^d(p) = \begin{cases} 0, & \text{если } p > 20 \\ 40 - 2p, & \text{если } 15 < p \leq 20 \\ 85 - 5p, & \text{если } 35/3 < p \leq 15 \\ 120 - 8p, & \text{если } 0 \leq p \leq 35/3 \\ \end{cases}

Условие равновесия при введении налога – 2 балла.

Введение налога с продаж со ставкой означает, что p^p=0,5p^c.

Соответственно, кривая предложения имеет вид Q^S(p^p)=4p^p=2p^c.

Поиск равновесия с налогом – 5 баллов.

Найдем равновесие, проверяя последовательно наличие пересечения новой кривой предложения с кривой спроса на каждом из участков, начиная с последнего.

120-8p=2p при p=12>35/3,

85-5p=2p при p = \frac{85}{7} = 12\frac{1}{7} \in \left(\frac{35}{3}, 15\right)

Вычисление налоговых поступлений – 1 балл.

Соответственно налоговые поступления при этом будут равны

0.5p \times Q = 0.5p \times 2p = p^2 = \left(\frac{85}{7}\right)^2.