(a) [4 балла] Рассмотрим прибыль фирмы из региона Альфа, если перевозка варенья не разрешена. Будем называть её фирма 1.

\Pi_1 = P_\alpha Q_\alpha - 20q_1.

Фирма является монополистом на рынке в своем регионе, поэтому подставим в прибыль

P_\alpha = 140 - Q_\alpha.

Так как фирма одна Q_\alpha = q_1 :

\Pi_1 = (140 - q_1)q_1 - 20q_1 = (120 - q_1)q_1.

График прибыли — парабола ветвями вниз относительно q1. Максимум прибыли достигается при

q_1^* = 60 \quad \text{и равен} \quad (120 - 60) \cdot 60 = 3600.

Аналогичные рассуждения верны для фирмы из региона Бета, будем называть её фирма 2:

\Pi_2 = P_\beta q_2 - 20q_2 = (140 - q_2)q_2 - 20q_2 = (120 - q_2)q_2.

График прибыли — парабола ветвями вниз относительно q2. Максимум прибыли достигается при

q_2^* = 60 \quad \text{и равен} \quad (120 - 60) \cdot 60 = 3600.

(b) [13 баллов] Так как сначала главы регионов выбирают налог, то обозначим введенную ставку налога в регионах t_a и t_b соответственно и найдем то, как зависит выбор фирм от этих ставок, то есть решим задачу по индивидуации. Рассмотрим прибыль фирмы 1:

\Pi_1 = P_\alpha q_{1,\alpha} + P_\beta q_{1,\beta} - 20q_{1,\alpha} - t_a q_{1,\alpha} - t_b q_{1,\beta}.

Где количество q_{1,\alpha} фирма 1 продаёт в регионе Альфа, а количество q_{1,\beta} в регионе Бета. Цены в регионах определяются следующим образом:

P_\alpha = 140 - q_{1,\alpha} - q_{1,\beta}, \quad P_\beta = 140 - q_{2,\beta} - q_{2,\alpha}.

Подставив цены в прибыль, заметим, что мы можем разложить общую прибыль фирмы 1 на прибыль в регионе Альфа и прибыль в регионе Бета.

\Pi_1 = \Pi_{1,\alpha} + \Pi_{1,\beta}

\Pi_{1,\alpha} = (120 - q_{1,\alpha} - q_{2,\alpha})q_{1,\alpha}

\Pi_{1,\beta} = (120 - t_\beta - q_{1,\beta} - q_{2,\beta})q_{1,\beta}

Прибыль в регионе Альфа достигает максимума при q_{1,\alpha} = \frac{120 - q_{2,\beta} - t_\beta}{2}, а прибыль в регионе Бета — при q_{1,\beta} = \frac{120 - q_{2,\alpha} - t_\alpha}{2}, так как обе функции — параболы ветвями вниз.

Применим аналогичные рассуждения к максимизации прибыли второй фирмы и получим:

q_{2,\alpha} = \frac{120 - q_{1,\alpha} - t_a}{2}, \quad q_{2,\beta} = \frac{120 - q_{1,\beta} - t_b}{2}.

Фирмы принимают решения о выборе продаваемого количества одновременно и независимо. Найдем равновесные значения.

Решив систему, получим, что

q_{1,\alpha} = 40 + \frac{t_a}{3}, \quad q_{2,\alpha} = 40 - \frac{2t_a}{3}, \quad q_{2,\beta} = 40 + \frac{t_b}{3}, \quad q_{1,\beta} = 40 - \frac{2t_b}{3}.

Как можно заметить, с увеличением налога на ввоз товара в регион Бета фирма 1 снижает объем поставок товара в этом регионе, потому что ее выпуск в другом регионе не меняется и решения по регионам не связаны друг с другом (так как издержки постоянны), при этом фирма 2 увеличивает производство в домашнем регионе, так как она может захватить освобождающуюся часть рынка. Аналогичные рассуждения верны для региона Альфа.

(b) [1 балл] Рассмотрим фирму 2. Количество, которое она продаёт в регионе Альфа, зависит от ставки налога следующим образом:

q_{2,\alpha} = 40 - \frac{2t_a}{3}.

При ставке налога ta < 60 она продаёт ненулевое количество. Значит, если ставка налога будет t_a \geq 60, то фирма откажется от поставок варенья в чужой регион. Аналогичное заключение можно сделать для фирмы 1.

Примечание: Можно заметить, что система из пункта (б) решена нами только для случая, когда t_a,t_b \leq 60, потому что в случае когда налог превышает указанный выше порог q_{1,\alpha} = 60, q_{2,\alpha} = 0 или q_{2,\beta} = 0 и q_{1,\beta} = 60. Далее этот случай мы детально рассматривать не будем, потому что он частично эквивалентен пункту а, более того не соответствует целям глав регионов по максимизации сборов (см. пункт б).

(c) [4 балла] Сумма налоговых сборов в каждом регионе равна сумме, которую уплатит каждая соответствующая фирма:

T_{x_a} = T_{x_2} = 40 + \frac{2t_a}{3}, \quad T_{x_3} = T_{x_1} = 40 + \frac{2t_b}{3}.

Рассмотрим прибыль фирмы до 2022 года. Прибыль в 2022 году

\Pi^0 = (40 + t_a) + (40 - 2t_b).

Заметим, что положение фирмы один могло улучшиться, если, например, t_a = 15, \, t_b = 5. Тогда

Pi = 3200 - 8t_a + 5t_b \leq 3600 при t_a = 0, t_b = 0.

(d) [8 баллов] После объединения регионов спрос на варенье в объединенном регионе будет равен

Q = Q_\alpha + Q_\beta = 280 - 2P, \quad \text{а обратный спрос} \quad P = 140 - \frac{Q}{2}.

Запишем прибыль любой из фирм:

\Pi_1 = Pq_1 - 20q_1 - tq_1 = (120 - t - 0.5q_1 - 0.5q_2)q_1.

Максимум достигается в вершине параболы q_1 = 120 - t - 0.5q_2. Аналогично для второй фирмы q_2 = 120 - t - 0.5q_1. Фирмы принимают решения о выборе продаваемого количества одновременно, поэтому, решая систему из двух вышеперечисленных уравнений, в равновесии получим q_1 = q_2 = 80 - \frac{2t}{3}.

Главы регионов максимизируют величину налоговых сборов:

T_x = (q_1 + q_2)t = 160t - \frac{4t^2}{3}.

Максимум налоговых сборов достигается в вершине параболы при t^* = 60, тогда общая сумма налоговых сборов 4800, а каждая фирма заплатит 2400. Тогда прибыль каждой фирмы будет равна 800.

До объединения величина налоговых сборов в регионе Альфа была равна:

T_{x_a} = T_{x_2} = 40 + \frac{2t_a}{3}, \quad T_{x_3} = T_{x_1} = 40 + \frac{2t_b}{3}.

Максимум налоговых сборов достигается в вершине параболы при t* = 60, тогда общая сумма налоговых сборов 4800, а каждая фирма заплатит 2400. Тогда прибыль каждой фирмы будет равна 800.

До объединения величина налоговых сборов в регионе Альфа была равна:

T_{x_a} = T_{x_2} = 40t_a - \frac{2t_a^2}{3}.

Максимум налоговых сборов достигается в вершине t_a^* = 30, тогда сборы будут равны 600.

Аналогично для региона Бета. Тогда прибыли фирм будут равны

\Pi_1 = \Pi_2 = 2900 \quad (в худшем случае для произвольных ставок они равны 1600 > 800).

Получается, после объединения фирмам станет хуже, а главам регионов лучше, так как в сумме они будут получать больше налогов, особенно если ставки в пункте (г) были невыгодными.