Межрегиональная торговля
В некоторой стране существует два региона Альфа и Бета. В каждом из регионов действует свой монополист, производящий малиновое варенье. В каждом регионе производство одной банки варенья обходится в 20 денежных единиц. Больше фирмы не несут никаких издержек. А цена, которая установится на рынке в каждом регионе, определяется следующим образом: 140 − Q, где Q– количество банок варенья, продаваемого в этом регионе.
(а) [4 балла] Сколько банок варенья будет продано в каждом регионе, если варенье нельзя перевозить? В новом 2022 году было разрешено перевозить варенье. Расходы на доставку не зависят от продаваемого количества и оплачиваются региональными властями того региона, в который варенье ввозится. Кроме того, расходы на доставку очень малы, то есть ими можно пренебречь. При этом глава каждого региона сначала назначает ставку потоварного налога, которую должны будут заплатить фирмы за ввоз банки варенья в его регион (местная фирма не платит налог), а потом каждая фирма независимо и одновременно решает, сколько варенья она будет продавать в своем регионе, а сколько в чужом.
(б) [13 баллов] Как зависит количество товара, которое фирмы будут продавать в своем регионе, от ставки налога? Почему так происходит?
(в) [1 балл] При какой ставке налога каждая из фирм не захочет продавать варенье в чужом регионе?
(г) [4 балла] Какую сумму каждая фирма заплатит в качестве налога? Улучшится ли положение фирм от этого нововведения? Выгодно ли фирмам торговать в обоих регионах? Главы регионов Альфа и Бета рассматривают возможность объединения двух регионов в один, чтобы, в том числе, объединить рынок варенья. Тогда вместе они назначают единый налог на продажу товара в объединенном регионе, а после фирмы одновременно выбирают сколько будут производить.
(д) [8 баллов] Какую сумму каждая фирма заплатит в качестве налога в это раз? Выгодно ли главам регионов производить объединение регионов, если они максимизируют только налоговые сборы на рынке варенья? Улучшится ли положение фирм?
(a) [4 балла] Рассмотрим прибыль фирмы из региона Альфа, если перевозка варенья не разрешена. Будем называть её фирма 1.
\Pi_1 = P_\alpha Q_\alpha - 20q_1.
Фирма является монополистом на рынке в своем регионе, поэтому подставим в прибыль
P_\alpha = 140 - Q_\alpha.
Так как фирма одна Q_\alpha = q_1 :
\Pi_1 = (140 - q_1)q_1 - 20q_1 = (120 - q_1)q_1.
График прибыли — парабола ветвями вниз относительно q1. Максимум прибыли достигается при
q_1^* = 60 \quad \text{и равен} \quad (120 - 60) \cdot 60 = 3600.
Аналогичные рассуждения верны для фирмы из региона Бета, будем называть её фирма 2:
\Pi_2 = P_\beta q_2 - 20q_2 = (140 - q_2)q_2 - 20q_2 = (120 - q_2)q_2.
График прибыли — парабола ветвями вниз относительно q2. Максимум прибыли достигается при
q_2^* = 60 \quad \text{и равен} \quad (120 - 60) \cdot 60 = 3600.
(b) [13 баллов] Так как сначала главы регионов выбирают налог, то обозначим введенную ставку налога в регионах t_a и t_b соответственно и найдем то, как зависит выбор фирм от этих ставок, то есть решим задачу по индивидуации. Рассмотрим прибыль фирмы 1:
\Pi_1 = P_\alpha q_{1,\alpha} + P_\beta q_{1,\beta} - 20q_{1,\alpha} - t_a q_{1,\alpha} - t_b q_{1,\beta}.
Где количество q_{1,\alpha} фирма 1 продаёт в регионе Альфа, а количество q_{1,\beta} в регионе Бета. Цены в регионах определяются следующим образом:
P_\alpha = 140 - q_{1,\alpha} - q_{1,\beta}, \quad P_\beta = 140 - q_{2,\beta} - q_{2,\alpha}.
Подставив цены в прибыль, заметим, что мы можем разложить общую прибыль фирмы 1 на прибыль в регионе Альфа и прибыль в регионе Бета.
\Pi_1 = \Pi_{1,\alpha} + \Pi_{1,\beta}
\Pi_{1,\alpha} = (120 - q_{1,\alpha} - q_{2,\alpha})q_{1,\alpha}
\Pi_{1,\beta} = (120 - t_\beta - q_{1,\beta} - q_{2,\beta})q_{1,\beta}
Прибыль в регионе Альфа достигает максимума при q_{1,\alpha} = \frac{120 - q_{2,\beta} - t_\beta}{2}, а прибыль в регионе Бета — при q_{1,\beta} = \frac{120 - q_{2,\alpha} - t_\alpha}{2}, так как обе функции — параболы ветвями вниз.
Применим аналогичные рассуждения к максимизации прибыли второй фирмы и получим:
q_{2,\alpha} = \frac{120 - q_{1,\alpha} - t_a}{2}, \quad q_{2,\beta} = \frac{120 - q_{1,\beta} - t_b}{2}.
Фирмы принимают решения о выборе продаваемого количества одновременно и независимо. Найдем равновесные значения.
Решив систему, получим, что
q_{1,\alpha} = 40 + \frac{t_a}{3}, \quad q_{2,\alpha} = 40 - \frac{2t_a}{3}, \quad q_{2,\beta} = 40 + \frac{t_b}{3}, \quad q_{1,\beta} = 40 - \frac{2t_b}{3}.
Как можно заметить, с увеличением налога на ввоз товара в регион Бета фирма 1 снижает объем поставок товара в этом регионе, потому что ее выпуск в другом регионе не меняется и решения по регионам не связаны друг с другом (так как издержки постоянны), при этом фирма 2 увеличивает производство в домашнем регионе, так как она может захватить освобождающуюся часть рынка. Аналогичные рассуждения верны для региона Альфа.
(b) [1 балл] Рассмотрим фирму 2. Количество, которое она продаёт в регионе Альфа, зависит от ставки налога следующим образом:
q_{2,\alpha} = 40 - \frac{2t_a}{3}.
При ставке налога ta < 60 она продаёт ненулевое количество. Значит, если ставка налога будет t_a \geq 60, то фирма откажется от поставок варенья в чужой регион. Аналогичное заключение можно сделать для фирмы 1.
Примечание: Можно заметить, что система из пункта (б) решена нами только для случая, когда t_a,t_b \leq 60, потому что в случае когда налог превышает указанный выше порог q_{1,\alpha} = 60, q_{2,\alpha} = 0 или q_{2,\beta} = 0 и q_{1,\beta} = 60. Далее этот случай мы детально рассматривать не будем, потому что он частично эквивалентен пункту а, более того не соответствует целям глав регионов по максимизации сборов (см. пункт б).
(c) [4 балла] Сумма налоговых сборов в каждом регионе равна сумме, которую уплатит каждая соответствующая фирма:
T_{x_a} = T_{x_2} = 40 + \frac{2t_a}{3}, \quad T_{x_3} = T_{x_1} = 40 + \frac{2t_b}{3}.
Рассмотрим прибыль фирмы до 2022 года. Прибыль в 2022 году
\Pi^0 = (40 + t_a) + (40 - 2t_b).
Заметим, что положение фирмы один могло улучшиться, если, например, t_a = 15, \, t_b = 5. Тогда
Pi = 3200 - 8t_a + 5t_b \leq 3600 при t_a = 0, t_b = 0.
(d) [8 баллов] После объединения регионов спрос на варенье в объединенном регионе будет равен
Q = Q_\alpha + Q_\beta = 280 - 2P, \quad \text{а обратный спрос} \quad P = 140 - \frac{Q}{2}.
Запишем прибыль любой из фирм:
\Pi_1 = Pq_1 - 20q_1 - tq_1 = (120 - t - 0.5q_1 - 0.5q_2)q_1.
Максимум достигается в вершине параболы q_1 = 120 - t - 0.5q_2. Аналогично для второй фирмы q_2 = 120 - t - 0.5q_1. Фирмы принимают решения о выборе продаваемого количества одновременно, поэтому, решая систему из двух вышеперечисленных уравнений, в равновесии получим q_1 = q_2 = 80 - \frac{2t}{3}.
Главы регионов максимизируют величину налоговых сборов:
T_x = (q_1 + q_2)t = 160t - \frac{4t^2}{3}.
Максимум налоговых сборов достигается в вершине параболы при t^* = 60, тогда общая сумма налоговых сборов 4800, а каждая фирма заплатит 2400. Тогда прибыль каждой фирмы будет равна 800.
До объединения величина налоговых сборов в регионе Альфа была равна:
T_{x_a} = T_{x_2} = 40 + \frac{2t_a}{3}, \quad T_{x_3} = T_{x_1} = 40 + \frac{2t_b}{3}.
Максимум налоговых сборов достигается в вершине параболы при t* = 60, тогда общая сумма налоговых сборов 4800, а каждая фирма заплатит 2400. Тогда прибыль каждой фирмы будет равна 800.
До объединения величина налоговых сборов в регионе Альфа была равна:
T_{x_a} = T_{x_2} = 40t_a - \frac{2t_a^2}{3}.
Максимум налоговых сборов достигается в вершине t_a^* = 30, тогда сборы будут равны 600.
Аналогично для региона Бета. Тогда прибыли фирм будут равны
\Pi_1 = \Pi_2 = 2900 \quad (в худшем случае для произвольных ставок они равны 1600 > 800).
Получается, после объединения фирмам станет хуже, а главам регионов лучше, так как в сумме они будут получать больше налогов, особенно если ставки в пункте (г) были невыгодными.