Задача 1. РЭ ПОШ - 2022 (8-9 класс)
В стране со спросом, задающимся функцией Q^d=256-P, спрос предъявляет один человек – Димка Пупкин, и работает бесконечное количество фирм. Взаимодействие на рынке происходит следующим образом: сначала первая фирма продаёт какое-то количество, принимая цену, назначенную Димкой, как заданную, потом вторая фирма продаёт так на остаточном спросе (спросе, который получается вычитанием объёма продаж первой фирмы из рыночного спроса), третья – на остаточном после двух (он получается вычитанием суммарного объёма продаж первой и второй фирмы из рыночного спроса) и так далее. Издержки каждой фирмы задаются как: TC_i=q_i^2/2.
Пускай фирмы работают бесконечное количество дней-периодов(весь спрос будет удовлетворён).
а) ( 15 баллов) Найдите коэффициент Джини, характеризующий распределение прибылей для 5 первых фирм.
б) ( 10 баллов) Какую долю составляет прибыль первой фирмы в сумме всех прибылей?
в) ( 5 баллов) Какую долю составляют прибыли n первых фирм в суммарной прибыли всех фирм?
а) \Pi_1 = P Q_1 - \frac{Q_1^2}{2} \to \max_{Q_1}
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому
Q_1 = P \Rightarrow P = 256 - P \Rightarrow P = 128, Q_1 = 128, \Pi_1 = \frac{128^2}{2}
Для 2 фирмы: 256 - 128 - P = P \Rightarrow P = 64, Q_2 = 64, \Pi_2 = \frac{64^2}{2}
Для 3 фирмы аналогично: P = 32, Q_3 = 32, \Pi_3 = \frac{32^2}{2}
Для 4 фирмы: P = 16, Q_4 = 16, \Pi_4 = \frac{16^2}{2}
Для 5 фирмы: P = 8, Q_5 = 8, \Pi_5 = \frac{8^2}{2}
Найдем коэффициент Джини: G = \frac{1}{5} \cdot \frac{8^2 + 16^2}{29} + \frac{2}{5} \cdot \frac{8^2 + 16^2 + 32^2}{29} + \frac{3}{5} \cdot \frac{8^2 + 16^2 + 32^2 + 64^2}{29} + \frac{4}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{8^2}{29} - \frac{3}{5} \cdot\frac{8^2 + 16^2}{29} - \frac{4}{5} \cdot \frac{8^2 + 16^2 + 32^2}{29} - \frac{8^2 + 16^2 + 32^2 + 64^2}{29} = \frac{228}{341}
б) Заметим, что Q_i = 2^{8-i} = \Pi_i \Rightarrow Y = \sum_{i=1}^{5} \frac{2^{16-2i}}{2^{15}} \cdot \frac{3}{2}
Так, доля первой фирмы: \frac{128^2}{2^{15}} \cdot \frac{3}{2} = 2^{15}
в) Прибыль первых n фирм: \sum_{i=1}^{n} \frac{2^{16-2i}}{2} = 2^{15} \cdot \frac{4^{n+1} - 4}{3 \cdot 4^{n+1}}
Доля: \frac{2^{15} \cdot (4^{n+1} - 4) \cdot 3}{3 \cdot 4^{n+1}} = 1 - \frac{1}{4^n}