Где поставить полигон?
На плоскости находится элитный комплекс Фублевка, который обозначается точкой. Жители комплекса выбирают точку для расположения свалки на начальном горизонтальном отрезке длиной в , однако отрезок постепенно сдвигается к оси , оставаясь неизменной длины, пока не станет вертикальным. А свалка, обозначенная точкой, остаётся на отрезке, и описывает какую-то траекторию за весь этот путь, образующую некую фигуру между осями на рисунке. Какую точку на прямой выберут Фублевцы, если они максимизируют площадь между внутренней частью первой четверти системы координат и данной фигурой, то есть площадь под получившимся графиком, который описывает эта точка (чтобы отдалить свалку максимально)?
Ответ
Запишем уравнение обычной прямой: . По теореме Пифагора длина отрезка , значит по теореме Пифагора . Откуда . Давайте выразим длину отрезка слева опять по теореме Пифагора: , подставим : .
Откуда . Подставим это в уравнение прямой . Получим зависимость, отображающую координаты такой точки на каждой прямой, то есть фигуру, которую описывает это поселение, съезжая из-за наводнения. . Возведём обе части в квадрат и получим уравнение эллипса: . Площадь четверти эллипса можно найти по формуле , где и (сидели на трубе) – длины полуосей, в нашем случае равные и .
Тогда площадь равна – парабола ветвями вниз, значит максимум при , тогда как с может принимать значения от до включительно. Значит, эта точка нам доступна. Это значит, что оптимально располагать полигон на середине отрезка на местности.
Ответ: на середине отрезка.