В любом пункте задачи, если при максимизации функции точка максимума была найдена, но не была обоснована, оценка снижалась на 1 балл, но не больше чем на 2 балла в сумме за всю задачу. Отметим, что приравнивание частных производных к нулю не являлось достаточным обоснованием, поскольку доказательство максимума этим методом требует более сложных математических выкладок, как правило не изучаемых в школьной программе.

(а) ( 6 баллов) Прибыль инвестора можно записать как функцию от двух аргументов, например, цены и длины тоннеля (1 балл за постановку задачи):

\pi(p, N) = p \left( 6 - \frac{p}{2N} \right) - N^2 - 3N \to \max_{p,N \geq 0}

Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно цены, вершина в точке p^*=6N. Сразу можно заметить, что q^*=3 ( 2 балла за одну из переменных). Теперь можно записать прибыль как функцию уже одного аргумента:

\pi(N) = 6N \cdot 3 - N^2 - 3N = 15N - N^2 \to \max_{N \geq 0}

Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке N^*=7,5 ( 2 балла ещё за одну переменную), значит, p^*=6N^*=45 ( 1 балл за оставшуюся переменную).

(б) ( 5 баллов) Без субсидирования обратная функция спроса имела вид p=2N(6-q), при субсидировании будет p=2N(6-q)+s. Задача максимизации прибыли в отсутствие возможности достраивать тоннель фактически становится равносильна задаче максимизации выручки:

\pi(q, N) = (2N(6 - q) + s)q - 78{,}75 \to \max_{\substack{0 \leq q \leq 6 \\ 0 \leq N \leq 7{,}5}}

Заметим, что эта функция является линейно возрастающей относительно длины тоннеля, коэффициент при N положителен (так как по условию нельзя добиться пассажиропотока выше 6 сотен млн чел.), значит, однажды построив тоннель заданной длины, монополист всегда будет использовать его полностью: N=7,5 ( 2 балла за идею). Тогда прибыль можно записать как

\pi(q) = (15(6 - q) + s)q - 78{,}75 = (90 + s)q - 15q^2 - 78{,}75 \to \max_{\substack{0 \leq q \leq 6}}

Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке q^*=3+s/30 ( 2 балла за оптимум монополиста). Мэрия хочет, чтобы q^*=4,5, то есть 3+s/30=4,5, откуда s=45. Расходы бюджета составят S=sq=45*4,5=202,5 ( 1 балл за расчёты).

Распространённой ошибкой являлась идея о том, что после введения субсидии монополист будет выбирать такой пассажиропоток, что новая цена будет равняться разности цены без вмешательства ( 45 д.е.) и субсидии. Это неверно для монополиста.

Другой ошибкой была идея о том, что монополисту достаточно такой субсидии, что с её учетом при пассажиропотоке 4,5 сотен млн чел. его прибыль не уменьшилась бы по сравнению с прибылью из предыдущего пункта (т.е. без вмешательства). Это тоже неверно, поскольку при введении такой субсидии монополист выбрал бы иное значение выпуска, а не 4,5, что можно увидеть из результата максимизации прибыли.

В обоих случаях за нахождение субсидии выставлялось 0 баллов.

(в) ( 6 баллов) Запишем функцию прибыли от числа пассажиров и длины метро в том случае, если инвестор решает достроить тоннель:

\pi(q, N) = (2N(6 - q) + s)q - N^2 - 3N = 12Nq - 2Nq^2 + sq - N^2 - 3N = (12q - 2q^2 - 3)N - N^2 + sq \to \max_{\substack{0 \leq q \leq 6 \\ N \geq 7{,}5}}

Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно длины линии, вершина в точке ( 2 балла)

N^*=6q-q^2-1,5

Максимум этого выражения достигается в точке q=3 – в вершине параболы с ветвями вниз. Само максимально возможное значение выражения составляет 7,5 – ровно столько, сколько было в пункте (а). Другими словами, какую бы субсидию ни дала мэрия монополисту (и какое бы q вследствие этого ни выбрал монополист), всегда N^*\leq 7,5, что не принадлежит области N>7,5 ( 4 балла). Поэтому инвестору не может быть выгодно увеличивать длину метро.

Заметим, что тот факт, что ставка субсидии не входит в уравнение оптимального напрямую, не является верным обоснованием, так как N^* зависит от q, а q может зависеть от ставки субсидии. Если в работе было предположено, что субсидия остается на уровне 45, оценка за пункт снижалась на 1 балл. В случае предположения, что государство будет стремиться установить q=4,5, пункт считался решенным неверно, и за него выставлялось 0 баллов.

(г) ( 3 балла) Без субсидирования при длине линии N=7,5 и количестве пассажиров q=4,5 цена будет равна p = 2N(6 - q) = 2 \cdot 7{,}5(6 - 4{,}5) = 22{,}5. Выручка монополиста p*q=101,25 ( 1 балл). Без вмешательства в условиях пункта (а) p*q=135 ( 1 балл), т.е. выручка снизилась на 33,75 – для монополиста достаточно будет такой компенсации ( 1 балл). Расходы на субсидирование – 202,5 поэтому для городского бюджета действительно будет предпочтительнее установить цену самостоятельно в обмен на аккордную выплату.