Вторая ветка
Через город E проходит единственная ветка метрополитена. Наконец нашёлся частный инвестор, который устал слушать многократные обещания чиновников построить вторую ветку метро и готов сам вложиться в строительство новой ветки. Соответственно, поскольку ветка частная, билеты на поездки по ней будут продаваться отдельно и независимо от билетов на первую ветку. Инвестор обладает уникальной технологией, позволяющей быстро и дёшево пробурить метро: издержки на строительство тоннеля протяжённостью N км составляют N^2+3N сотен млн руб., других издержек – предположим для упрощения — инвестор не несёт. Число горожан, желающих воспользоваться новой веткой метро, положительно зависит от её длины (чем длиннее метро, тем больше районов удастся охватить) и отрицательно зависит от цены билета (чем дороже билет, тем больше жителей предпочтут воспользоваться наземным общественным транспортом или личным автомобилем). Если будет построена ветка длиной N км, а за поездку будет назначена цена p рублей, то за период времени, в течение которого инвестор планирует получать доход от метро, количество пассажиров (сотен млн чел.) составит
q_d=6-\frac{p}{2N}
(а) Какую протяжённость будет иметь новая ветка? Какая цена будет установлена? Сколько пассажиров будет перевезено?
(б) После того как инвестор построил свою ветку и собрался начать работать как монополист, в мэрии решили воспользоваться его веткой, чтобы разгрузить автомобильные дороги. Построенный тоннель инвестор может использовать полностью или не полностью на своё усмотрение, но увеличить длину тоннеля инвестор уже не может – она такая, какую вы рассчитали в пункте (а). Какую субсидию на одного пассажира пообещает инвестору администрация города, если она хочет увеличить пассажиропоток ветки в полтора раза? Во сколько это обойдётся городскому бюджету? Считайте, что с помощью субсидирования можно добиться увеличения пассажиропотока не более чем до q_d(N,0)=6 сотен млн чел. – никакая ставка субсидии не может сделать его выше этого уровня.
(в) Жители отдалённых от центра районов негодуют: если бы мэрия не медлила с объявлением о субсидии, у инвестора была бы возможность удлинить тоннель, как только ему стало известно о субсидировании. Захотел бы он это сделать или нет?
(г) Узнав расходы на субсидирование, которые вы рассчитали в пункте (б), мэр города – широко известный даже за его пределами мистер P – задумался, открыл Facebook и написал одному студенту-экономисту:
– Слушай, мы потратим кучу денег на метро, грязь с улиц будет не на что убирать!(((
– Ну, можно, например, законодательно установить цену на нужном уровне, а монополисту потом выплатить из бюджета фиксированную аккордную компенсацию :-)
– Ага, спасибо, приходи в субботу на пробежку, потом чаю попьём!
Поможет ли этот совет горбюджету?
В любом пункте задачи, если при максимизации функции точка максимума была найдена, но не была обоснована, оценка снижалась на 1 балл, но не больше чем на 2 балла в сумме за всю задачу. Отметим, что приравнивание частных производных к нулю не являлось достаточным обоснованием, поскольку доказательство максимума этим методом требует более сложных математических выкладок, как правило не изучаемых в школьной программе.
(а) ( 6 баллов) Прибыль инвестора можно записать как функцию от двух аргументов, например, цены и длины тоннеля (1 балл за постановку задачи):
\pi(p, N) = p \left( 6 - \frac{p}{2N} \right) - N^2 - 3N \to \max_{p,N \geq 0}
Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно цены, вершина в точке p^*=6N. Сразу можно заметить, что q^*=3 ( 2 балла за одну из переменных). Теперь можно записать прибыль как функцию уже одного аргумента:
\pi(N) = 6N \cdot 3 - N^2 - 3N = 15N - N^2 \to \max_{N \geq 0}
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке N^*=7,5 ( 2 балла ещё за одну переменную), значит, p^*=6N^*=45 ( 1 балл за оставшуюся переменную).
(б) ( 5 баллов) Без субсидирования обратная функция спроса имела вид p=2N(6-q), при субсидировании будет p=2N(6-q)+s. Задача максимизации прибыли в отсутствие возможности достраивать тоннель фактически становится равносильна задаче максимизации выручки:
\pi(q, N) = (2N(6 - q) + s)q - 78{,}75 \to \max_{\substack{0 \leq q \leq 6 \\ 0 \leq N \leq 7{,}5}}
Заметим, что эта функция является линейно возрастающей относительно длины тоннеля, коэффициент при N положителен (так как по условию нельзя добиться пассажиропотока выше 6 сотен млн чел.), значит, однажды построив тоннель заданной длины, монополист всегда будет использовать его полностью: N=7,5 ( 2 балла за идею). Тогда прибыль можно записать как
\pi(q) = (15(6 - q) + s)q - 78{,}75 = (90 + s)q - 15q^2 - 78{,}75 \to \max_{\substack{0 \leq q \leq 6}}
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке q^*=3+s/30 ( 2 балла за оптимум монополиста). Мэрия хочет, чтобы q^*=4,5, то есть 3+s/30=4,5, откуда s=45. Расходы бюджета составят S=sq=45*4,5=202,5 ( 1 балл за расчёты).
Распространённой ошибкой являлась идея о том, что после введения субсидии монополист будет выбирать такой пассажиропоток, что новая цена будет равняться разности цены без вмешательства ( 45 д.е.) и субсидии. Это неверно для монополиста.
Другой ошибкой была идея о том, что монополисту достаточно такой субсидии, что с её учетом при пассажиропотоке 4,5 сотен млн чел. его прибыль не уменьшилась бы по сравнению с прибылью из предыдущего пункта (т.е. без вмешательства). Это тоже неверно, поскольку при введении такой субсидии монополист выбрал бы иное значение выпуска, а не 4,5, что можно увидеть из результата максимизации прибыли.
В обоих случаях за нахождение субсидии выставлялось 0 баллов.
(в) ( 6 баллов) Запишем функцию прибыли от числа пассажиров и длины метро в том случае, если инвестор решает достроить тоннель:
\pi(q, N) = (2N(6 - q) + s)q - N^2 - 3N = 12Nq - 2Nq^2 + sq - N^2 - 3N = (12q - 2q^2 - 3)N - N^2 + sq \to \max_{\substack{0 \leq q \leq 6 \\ N \geq 7{,}5}}
Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно длины линии, вершина в точке ( 2 балла)
N^*=6q-q^2-1,5
Максимум этого выражения достигается в точке q=3 – в вершине параболы с ветвями вниз. Само максимально возможное значение выражения составляет 7,5 – ровно столько, сколько было в пункте (а). Другими словами, какую бы субсидию ни дала мэрия монополисту (и какое бы q вследствие этого ни выбрал монополист), всегда N^*\leq 7,5, что не принадлежит области N>7,5 ( 4 балла). Поэтому инвестору не может быть выгодно увеличивать длину метро.
Заметим, что тот факт, что ставка субсидии не входит в уравнение оптимального напрямую, не является верным обоснованием, так как N^* зависит от q, а q может зависеть от ставки субсидии. Если в работе было предположено, что субсидия остается на уровне 45, оценка за пункт снижалась на 1 балл. В случае предположения, что государство будет стремиться установить q=4,5, пункт считался решенным неверно, и за него выставлялось 0 баллов.
(г) ( 3 балла) Без субсидирования при длине линии N=7,5 и количестве пассажиров q=4,5 цена будет равна p = 2N(6 - q) = 2 \cdot 7{,}5(6 - 4{,}5) = 22{,}5. Выручка монополиста p*q=101,25 ( 1 балл). Без вмешательства в условиях пункта (а) p*q=135 ( 1 балл), т.е. выручка снизилась на 33,75 – для монополиста достаточно будет такой компенсации ( 1 балл). Расходы на субсидирование – 202,5 поэтому для городского бюджета действительно будет предпочтительнее установить цену самостоятельно в обмен на аккордную выплату.