Пусть K_X и L_X – объемы капитала и труда, используемые для производства продукта X, аналогично K_Y и L_Y – объемы капитала и труда, используемые для производства Y. Тогда производственные функции можно записать в следующем виде: X=K_XL_X, \quad Y=K_YL_Y.

Очевидно, K_X + K_Y = 10; \quad L_X + L_Y = 10. \quad K_Y = 10 − K_X ; \quad L_Y = 10 − L_X = 10 − \frac{X}{K_X};

Y = K_Y L_Y = (10 - K_X) \left( 10 - \frac{X}{K_X} \right) = 100 - \frac{10X}{K_X} - 10K_X + X.

Кривая производственных возможностей – это график, показывающий, какой максимальный объем продукта Y может быть произведен при данном значении объема производства X. Предположим, мы выбрали какое-то определенное (фиксированное, неизменное) значение X. Очевидно, объем выпуска Y в данном случае будет определяться лишь тем объемом капитала K_X, который будет использован для производства продукта X. Определим значение K_X, при котором достигается максимальное значение Y.

Y' = \frac{10X}{K_X^2} - 10 = 0. \quad K_X = \sqrt{X}.

Снова подставим найденное значение K_X в производственную функцию для Y:

Y = (10 - K_X) \left( 10 - \frac{X}{K_X} \right) = \left( 10 - \sqrt{X} \right) \left( 10 - \frac{X}{\sqrt{X}} \right) = \left( 10 - \sqrt{X} \right)^2.

Ответ: Y=\left( 10 - \sqrt{X} \right)^2.