Издержки охотников на поимку Q_1 рабов, которых они продадут TC=Q_0^2=4Q_1^2.

При этом спрос на рабов P = \frac{200 - Q_0}{n} = \frac{200 - 2Q_1}{n}.

Запишем прибыль охотников. \pi = \frac{200Q_1}{n} - Q_1^2\left(4 + \frac{2}{n}\right). Парабола ветвями вниз, максимум в вершине. Q_1^*=\frac{50}{2n+1}. Это меньше n+5 при n=1;2, при таких значениях Q_1^*=n+5. При остальных значениях охотники будут продавать найденное выше равновесное число рабов.

Теперь запишем прибыль короля. \pi = \begin{cases} \frac{50}{2n+1} * \frac{200 - \frac{100}{2n+1}}{n}, & n \geq 3, \\ (n + 5) * \frac{200 - 2(n+5)}{n}, & n < 3. \end{cases}

В целых числах обе ветви имеют максимум при минимально возможных целых положительных n. Это можно доказать, например, взяв производную и увидев, что при целых положительных n она всегда отрицательна.

При n=3 \pi = \frac{50 \cdot 1300}{3 \cdot 7 \cdot 7}, при n=1 \pi=6*188=1128

Ответ: n=1.