Теперь у Кирилла есть точка начального запаса (4,9) (товар x в количестве 4 и товар y в количестве 9, которые у Кирилла есть изначально). Очевидно, что если двигаться от нее влево вверх в пространстве x и y (то есть увеличивать количество y и уменьшать количество x ), то Кирилл покупает Y и продает X. Если двигаться вправо вниз (то есть увеличивать количество x и уменьшать количество y ), то продает Y и покупает X. Также Кирилл имеет возможность двигаться вправо вверх, то есть покупать оба товара. Продавать два товара не имеет смысла, поскольку в этом случае количество обоих товаров будет меньше, чем в точке начального запаса, а значит точно меньше максимального. Тогда у кривой торговых возможностей будет три участка:

Случай 1 (продает x_{проданный}, покупает y_{купленный} ):

В этом случае x_{проданный}=4-x, а y_{купленный}=y-9 при условии, что x\leq 4 и y\geq 9.

Проданный x будет увеличивать предложение на рынке товара X на величину x при всех ценах, тогда в равновесии:

Q_X^{d} = \frac{100}{P_X} = P_X + (4 - x) = Q_X^{s}

P_X^{2} + (4 - x)P_X - 100 = 0

P_X^{e} = \frac{-(4 - x) + \sqrt{(4 - x)^{2} + 400}}{2}

Другой корень отрицательный, следовательно, такая цена в равновесии сложиться не может.

Из пункта а) P_Y^{e} = \frac{2y + \sqrt{4y^{2} + 1600}}{2}. Подставляя y_{\text{купленный}} вместо y, получим P_Y^{e} = \frac{2(y - 9) + \sqrt{4(y - 9)^{2} + 1600}}{2}.

Кривая торговых возможностей на этом участке будет иметь вид:

P_Y \cdot y_{\text{купленный}} = I + P_X \cdot x_{\text{проданный}}

Подставим полученные ранее значения и выведем итоговое уравнение кривой торговых возможностей на этом участке:

\frac{2(y - 9) + \sqrt{4(y - 9)^2 + 1600}}{2} \cdot (y - 9) = 100 + \frac{-(4 - x) + \sqrt{(4 - x)^2 + 400}}{2} \cdot (4 - x)

Ограничение: поскольку Кирилл продает неотрицательное количество x_{\text{проданный}} и покупает неотрицательное количество y_{\text{купленный}}, то на первом участке y\geq 9 и x\leq 4 Случай 2 (покупает x_{\text{купленный}} , покупает y_{\text{купленный}} ):

В этом случае x_{\text{купленный}} = x - 4, а y_{\text{купленный}} = y - 9.

Из пункта а) P_X^{e} = \frac{x + \sqrt{x^2 + 400}}{2}.

Подставляя x_{\text{купленный}} вместо x, получим P_X^{e} = \frac{(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^2 + 400}}{2}.

Аналогично из пункта б) P_Y^{e} = \frac{2y + \sqrt{4y^2 + 1600}}{2}. Подставляя y_{\text{купленный}} вместо y, получим P_Y^{e} = \frac{2(y - 9) + \sqrt{4(y - 9)^2 + 1600}}{2}.

Кривая торговых возможностей на этом участке будет иметь вид: P_Y \cdot y_{\text{купленный}} + P_X \cdot x_{\text{купленный}} = I.

Подставим полученные ранее значения и выведем итоговое уравнение кривой торговых возможностей на этом участке:

\frac{2(y - 9) + \sqrt{4(y - 9)^2 + 1600}}{2} \cdot (y - 9) + \frac{(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^2 + 400}}{2} \cdot (x - 4) = 100

Ограничение: поскольку Кирилл продает неотрицательное количество x_{\text{купленный}} и покупает неотрицательное количество y_{\text{купленный}}, то на втором участке y\geq 9 и x\geq 4.

Случай 3 (покупает x_{\text{купленный}}, продает y_{\text{проданный}} ):

В этом случае x_{\text{купленный}} = x - 4, а y_{\text{проданный}} = 9 - y. Проданный y будет увеличивать предложение на рынке товара Y на величину y при всех ценах, тогда в равновесии:

Q_Y^{d} = \frac{200}{P_Y} = 0{,}5P_Y + (9 - y) = Q_Y^{s}

P_Y^{2} + 2(9 - y)P_Y - 400 = 0

P_Y^{e} = \frac{-2(9 - y) + \sqrt{4(9 - y)^{2} + 1600}}{2}

Другой корень отрицательный, следовательно, такая цена в равновесии сложиться не может.

Из пункта а) P_X^{e} = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 400}}{2}. Подставляя x_{\text{купленный}} вместо x, получим

P_X^{e} = \frac{(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^{2} + 400}}{2}.

Кривая торговых возможностей на этом участке будет иметь вид:

P_X \cdot x_{\text{купленный}} = I + P_Y \cdot y_{\text{проданный}}

Подставим полученные ранее значения и выведем итоговое уравнение кривой торговых возможностей на этом участке:

\frac{(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^{2} + 400}}{2} \cdot (x - 4) = 100 + \frac{-2(9 - y) + \sqrt{4(9 - y)^{2} + 1600}}{2} \cdot (9 - y)

Ограничение: поскольку Кирилл продает неотрицательное количество y_{\text{проданный}} и покупает неотрицательное количество x_{\text{купленный}}, то на третьем участке y\leq 9 и x\geq 4.

Итоговая КТВ:

\begin{cases} \dfrac{2(y - 9) + \sqrt{4(y - 9)^2 + 1600}}{2} \cdot (y - 9) = 100 + \dfrac{-(4 - x) + \sqrt{(4 - x)^2 + 400}}{2} \cdot (4 - x), & \text{при } x \le 4 \text{ и } y \ge 9, \\[12pt] \dfrac{2(y - 9) + \sqrt{4(y - 9)^2 + 1600}}{2} \cdot (y - 9) + \dfrac{(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^2 + 400}}{2} \cdot (x - 4) = 100, & \text{при } x \ge 4 \text{ и } y \ge 9, \\[12pt] \dfrac{(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^2 + 400}}{2} \cdot (x - 4) = 100 + \dfrac{-2(9 - y) + \sqrt{4(9 - y)^2 + 1600}}{2} \cdot (9 - y), & \text{при } x \ge 4 \text{ и } y \le 9. \end{cases}