1) Для ответа на вопрос задачи нам необходимо посчитать еженедельную сумму, которую Беляков будет получать на руки после всех перераспределений и оплаты расходов. По условию вся легальная зарплата уходит на оплату дома и прочие обязательные траты, а значит её можно не учитывать. Получается, Беляков получит половину денег от продажи 4 фунтов субстанции с учётом конфискации 5\% и за вычетом расходов на лечение:

\pi = \frac{2000 \times 16 \times 4}{2} \times 0.95 - 10000 = 50800 - 1.5 балла

Тогда легко посчитать срок, за который он получит необходимую сумму в 737000 :

t = \frac{737000}{50800} = 14{,}508 - 0.5

Это значит, что за 14 недель он ещё не соберёт нужной суммы, но зато соберёт за 15.

Ответ: 15 недель - 1 балл

Критерии при отличающемся решении:

1 балл за весь пункт – если при расчёте суммы еженедельного дохода было потеряно одно из условий: разделение средств с партнёром, конфискация 5\% субстанции, учёт расходов на лечение.

1 балл за весь пункт – если учтена легальная зарплата, но не учтены бытовые расходы и наоборот.

За ответ «14,5 недель» баллы не снимались.

2) С учётом увеличившегося процента конфискаций, ожидаемый недельный заработок гражданина Белякова (в случае если его не поймают) изменился:

\pi = \frac{2000 \times 16 \times 4}{2} \times 0.85 - 10000 = 44400 −1 балл

Вероятность поимки на n -ой неделе: (p+n-1)\% - ( 1 балл при отсутствии дальнейшего решения или неправильном решении). Чтобы посчитать ожидаемый заработок на n -ой неделе с учётом того, что Беляков потеряет все деньги, если его поймают, можно «переформулировать» задачу так:

Каждую неделю все уже заработанные деньги Беляков «сдаёт», после чего играет в лотерею, в которой либо получает назад все «сданные» деньги и ещё 44400 бонусом с вероятностью 1 - \frac{p + n - 1}{100} либо ничего не получает с вероятностью \frac{p + n - 1}{100}. Как только Беляков получает первый 0 – игра заканчивается. Значит, он получит выигрыш на n -ой неделе только если его не поймают ни на одной из предыдущих. Тогда ожидаемый заработок на n -ой неделе:

44400 \times n \times \left( 1 - \frac{p}{100} \right) \times \left( 1 - \frac{p + 1}{100} \right) \dots \left( 1 - \frac{n + p - 1}{100} \right) = 44400n \times \prod_{n=1}^{n} \left( 1 - \frac{n + p - 1}{100} \right)

По условию Беляков не открывает производство, если рискует не заработать необходимую сумму за 24 недели, а значит выражение выше нужно переписать для n=24 и сравнить с 737000.

44400 \times 24 \times \prod_{n=1}^{24} \left( 1 - \frac{n + p - 1}{100} \right) < 737000

1065600 \times \prod_{n=1}^{24} \left( 1 - \frac{n + p - 1}{100} \right) < 737000

\prod_{n=1}^{24} \left( 1 - \frac{n + p - 1}{100} \right) < 0.692 ( 1 балл)

Для наглядности распишем:

\left( 1 - \frac{p}{100} \right) \times \left( 0.99 - \frac{p}{100} \right) \times \left( 0.98 - \frac{p}{100} \right) \cdots \left( 0.77 - \frac{p}{100} \right) < 0.692

Заметим, что

\left( 1 - \frac{p}{100} \right) \times \left( 0.99 - \frac{p}{100} \right) \times \left( 0.98 - \frac{p}{100} \right) \cdots \left( 0.77 - \frac{p}{100} \right) < 1 \times 0.99 \times 0.98 \times \cdots \times 0,77.

Заметим так же, что 0,77*0,78=0,601<0,692. Нетрудно заметить, что в правой части предыдущего неравенства 0,77*0,78 домножается на несколько значений, меньших единицы. Следовательно,

1 \times 0.99 \times 0.98 \times \cdots \times 0.77 < 0.692

\left( 1 - \frac{p}{100} \right) \times \left( 0.99 - \frac{p}{100} \right) \times \left( 0.98 - \frac{p}{100} \right) \cdots \left( 0.77 - \frac{p}{100} \right) < 0.692, для любого p

2 балла за правильное рассуждение.

Может быть он сможет заработать нужную сумму быстрее?

\frac{737000}{44400} = 16.699 −1 балл

Значит, даже если бы гражданина Белякова не пытались поймать, ему бы потребовалось 17 недель на сбор необходимой суммы. 100-17=83, а значит вероятность собрать нужную сумму за семнадцать недель была бы меньше 83\%, при необходимых 0,97(737000/754800) – 1 балл. Очевидно, что при всех n\in[17;24], вероятность поимки растёт слишком стремительно, и прирост платежа не способен это компенсировать. Таким образом мы проверили, что при любом p гражданин Беляков не стал бы открывать производство – 1 балл.

Критерии в случае неправильных или альтернативных решений:

Ответ «Риск не заработать нужную сумму есть всегда, т.к. вероятность поимки как минимум со второй недели станет выше 0 » и подобные ему оценивались в 0 баллов.

Ответ «При вероятности поимки выше 50\% Беляков уйдет с рынка, поэтому...» и подобные ему оценивались в 0 баллов.

Ответ «Беляков уйдёт с рынка при вероятности поимки 100\%, поэтом...» и подобные ему оценивались в 0 баллов.

Если в решении присутствовала попытка посчитать ожидаемый платёж (хоть и неверная) решение оценивалось от 2 до 7 баллов, в зависимости от тяжести допущенных ошибок.

3) Поскольку в вопросе задачи спрашивается о сроке, за который на счету гражданина Белякова будет собрана необходимая сумма, мы должны посчитать только номинальное количество денег на счету. Годовая ставка процента нам дана.

Каждый месяц гражданин мог бы откладывать по 3000. Тогда ежемесячный процент по вкладу был бы (1,015)^{\frac {1}{12}}.

Тогда сумма на вкладе на конец n -ного месяца будет считаться следующим образом:

3000 \times (1.015)^{\frac{n}{12}} + 3000 \times (1.015)^{\frac{n-1}{12}} + \dots + 3000 \times (1.015)^{\frac{1}{12}} + 3000

И нам надо найти такое n, при котором эта сумма больше или равна 737000 :

3000 \times (1.015)^{\frac{n}{12}} + 3000 \times (1.015)^{\frac{n-1}{12}} + \dots + 3000 \times (1.015)^{\frac{1}{12}} + 3000 \geq 737000

Заметим, что эта сумма – сумма членов геометрической прогрессии. Такая сумма рассчитывается по формуле:

S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}, где b_1 − первый член прогрессии, а q −её знаменатель.

В нашем случае b_1=3000, q=(1,015)^{\frac{1}{12}} тогда:

S_n = \frac{3000 \left( \left(1.015 \right)^{\frac{n}{12}} - 1 \right)}{\left(1.015 \right)^{\frac{1}{12}} - 1}

Если имеющийся калькулятор умеет вычислять только квадратные корни, можно заметить, что \left(1.015 \right)^{\frac{1}{8}} \approx 1.0019, a \left(1.015 \right)^{\frac{1}{16}} \approx 1.0009,из чего можно сделать вывод, что \left(1.015 \right)^{\frac{1}{12}} \approx 1.001. Если же он позволяет считать корни 2 и 3 или любой степени, то \left(1.015 \right)^{\frac{1}{12}} \approx 1.0012. Отсюда:

S_n = \dfrac{3000 \left(1.015^{\frac{n}{12}} - 1 \right)}{0.0012} \\ S_n = 200000 \times \left(1.015^{\frac{n}{12}} - 1 \right) \\ 2500000 \times 1.015^{\frac{n}{12}} - 1 \geq 737000 \\ 1.015^{\frac{n}{12}} - 1 \geq 0.2948 \\ 1.015^{\frac{n}{12}} \geq 1.2948 \\ \dfrac{n}{12} = \log_{1.015} 1.2948 \\ n = 12 \log_{1.015} 1.2948

Если имеющийся под рукой калькулятор умеет вычислять логарифмы, то n=208,2. Тогда количество лет, которое потребуется на накопление нужной суммы - \log_{1.015} 1.2948 = 17.4. Тогда, чтобы накопить нужную сумму к 50 годам, гражданину Белякову нужно было начать сберегать в 32 года (или 32 года и 7 месяцев).

Если же калькулятор такого не позволяет, то ответ можно записать в виде:

50-\log_{1.015} 1.2948

Критерии оценивания:

За полностью правильное решение ставилось 3 балла.

Если участник принимал ставку в 1,5\% за ежемесячную - такой подход принимался и оценивался аналогично решению для годовой ставки (с поправкой на изменения в численных значениях).

Если в работе присутствовало объяснение, что можно пренебречь ежемесячными процентами в связи с малым их значением ( 0 при округлении до второго знака после запятой), решение с начислением процентов только в конце года (без капитализации) считалось верным и оценивалось из критериев, аналогичных оригинальному решению.

Если был использован в явном виде тот факт, что при маленьких значениях сумма чисел примерно равна их произведению и ежемесячный процент считался как 1,5/12=0,125\% /мес, такое решение считалось верным и оценивалось из критериев, аналогичных оригинальному решению.

За правильный ход решения с реальными процентами (с поправкой на изменения в численных значениях) ставилось 2 балла.

При отсутствии полностью правильного решения:

1 балл ставился за правильную формулу суммы вклада в конце срока хранения с учётом сложных процентов.

1 балл ставился за расчёт количества месяцев/лет, необходимых для заработка 737000 методом ежемесячного откладывания 3000 /ежегодного откладывания 36000 без начисления процентов.