А). Найдем оптимальную ставку налога для фирмы n. Для этого запишем налоговые сборы с этой фирмы. Чтобы сделать это, найдем количество продаваемого товара от ставки налога.

\pi=150Q-10*n-Q^2-t*Q, парабола ветвями вниз.

Максимум в вершине. Q^*=\frac{150-10n-t}{2}

T_n=\frac{(150-10n)t-t^2}{2}

, вновь парабола ветвями вниз, оптимум при t_n=75-5n. При данной ставке прибыль всех фирм будет положительна.

Итоговые налоговые сборы будут

T_{\text{общ}} = 5 \cdot 75^2 - 5 \cdot 75 \cdot (1 + \ldots + 10) + 12.5 \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 12312.5

Б). Найденная выше функция налоговых сборов с фирмы не поменяется. Найдем общую

функцию прибыли.

T = \left(75 \cdot N - \frac{N(5 + 5N)}{2}\right)t - \frac{t^2}{2} \cdot N, где N – количество фирм, готовых работать при данной ставке налога. Мы должны помнить, что при некоторых ставках налога кол-во фирм, входящих на рынок, снизится. Предположим, что у нас есть возможность при каждом доступном N назначить оптимальную ставку налога. (Разумеется, это не так, но это поможет нам в дальнейшем решении). Это парабола ветвями вниз относительно ставки налога. Оптимум в вершине. Найдя таким образом оптимальную ставку налога подставим и запишем функцию налоговых сборов от N.

T = \frac{N(72.5 - 2.5N)^2}{2}. Максимизируя эту функцию через производную, получим точку локального максимума при N=14,5, при этом на промежутке от 0 до 10 функция возрастает. Поскольку мы ограничены 10, это и будет оптимум. При данном количестве

оптимальный налог t=47,5, при этом прибыли всех фирм будут положительны, то есть мы уложились в ограничения. Здесь мы получим, что даже если бы не было ограничений на прибыли и то, что фирмы могут уйти с рынка, мы бы остановились на данном налоге. Таким образом, это наш оптимум.

Ответ: t=47,5, T=11281,5.