Оптимизируя налоги
На совершенно конкурентном рынке дипломов Всеросса по предмету есть ровно
фирм. Дипломы Всеросса по предмету товар очень специфичный. Купить его готово любое количество людей, но по цене, не превышающей тысяч. Издержки на производство у фирм разные. У первой фирмы в тысячах, у второй , у фирмы с номером издержки будут . Государство вводит налог на производителей с целью максимизации налоговых сборов. К сожалению, государство может вводить только потоварный налог в виде фиксированной платы с единицы продукции.
А). Найдите оптимальные ставки налогов и налоговые сборы, если государство может отличать группы производителей и назначать им разные налоги.
Б). Найдите оптимальную ставку налога и налоговые сборы, если отличать группы не получается и приходится вводить единый налог на всех.
Ответ
А). Найдем оптимальную ставку налога для фирмы . Для этого запишем налоговые сборы с этой фирмы. Чтобы сделать это, найдем количество продаваемого товара от ставки налога.
, парабола ветвями вниз.
Максимум в вершине.
, вновь парабола ветвями вниз, оптимум при . При данной ставке прибыль всех фирм будет положительна.
Итоговые налоговые сборы будут
Б). Найденная выше функция налоговых сборов с фирмы не поменяется. Найдем общую
функцию прибыли.
, где – количество фирм, готовых работать при данной ставке налога. Мы должны помнить, что при некоторых ставках налога кол-во фирм, входящих на рынок, снизится. Предположим, что у нас есть возможность при каждом доступном назначить оптимальную ставку налога. (Разумеется, это не так, но это поможет нам в дальнейшем решении). Это парабола ветвями вниз относительно ставки налога. Оптимум в вершине. Найдя таким образом оптимальную ставку налога подставим и запишем функцию налоговых сборов от .
. Максимизируя эту функцию через производную, получим точку локального максимума при , при этом на промежутке от до функция возрастает. Поскольку мы ограничены , это и будет оптимум. При данном количестве
оптимальный налог , при этом прибыли всех фирм будут положительны, то есть мы уложились в ограничения. Здесь мы получим, что даже если бы не было ограничений на прибыли и то, что фирмы могут уйти с рынка, мы бы остановились на данном налоге. Таким образом, это наш оптимум.
Ответ: , .