Экспонат
Алиса любит конфеты (x_1), печенье (x_2) и постимпрессионизм. Килограмм конфет стоит p_1=250, а килограмм печенья стоит p_2=110.
Сергей, друг Алисы, хочет сводить ее на выставку ее любимого голландского художника, но требует, чтобы она сама заплатила за билет. Билет на выставку стоит p_3, однако туда бесплатно пускают девушек, пришедших в обуви на шпильках от 10 см. У Алисы нет обуви на шпильках (более того, она терпеть не может носить такую обувь, поэтому в ней удовольствие Алисы от выставки несколько снизится), но она может взять ее напрокат по цене p_4=700. Предпочтения Алисы относительно конфет, печенья, посещения выставки и ношения обуви на шпильках представимы функцией полезности
U(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 + 36 x_3 - 16 x_4,
где количество конфет и печенья может принимать любые неотрицательные значения, а x_3 и x_4 — только значения 1 и 0 (в зависимости от того, пошла ли она на выставку и взяла ли обувь напрокат). Общая сумма денег, которую Алиса может потратить, равна 2000.
Найдите спрос Алисы на конфеты, печенье, посещение выставки и обувь на шпильках в зависимости от цены билета на выставку.
Алиса может выбрать один из трех вариантов:
1 ) Пойти на выставку, взяв обувь напрокат.
2 ) Пойти на выставку без обуви, взятой напрокат.
3 ) Не ходить на выставку (в этом случае брать обувь напрокат нет смысла).
Рассмотрим вариант 1. В этом случае x_3=x_4=1, то есть Алиса будет максимизировать функцию U_1=x_1x_2+20 (осталось выбрать только потребление конфет и печенья). Поскольку Алиса берет обувь напрокат за p_4=700, а выставка бесплатна, она может потратить на конфеты и печенье 1300. Составим бюджетное ограничение: 250x_1+110x_2\leq 1300. Понятно, что в силу возрастания функции полезности Алиса будет тратить все деньги, так что x_2=130/11-(25/11)x_1. Подставляя это в функцию полезности, получаем U_1=x_1(130/11-(25/11)x_1)+20. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: x_1^*=13/5. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: U_1^*=389/11.
Рассмотрим вариант 2. В этом случае x_3=1, x_4=0, то есть Алиса будет максимизировать функцию U_2=x_1x_2+36. Поскольку Алиса покупает билет на выставку за p_3, она может потратить на конфеты и печенье (2000-p_3). Составим бюджетное ограничение: 250x_1+110x_2=2000-p_3, откуда x_2=(2000-p_3)/110-(25/11)x_1. Подставляя это в функцию полезности, получаем U_2=x_1((2000-p_3)/110-(25/11)x_1)+36. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: x_1^*=(2000-p_3)/500.
Подставляя это в функцию, находим максимальное значение:
U_2^* = \frac{(2000 - p_3)^2}{110000} + 36.
Рассмотрим вариант 3. В этом случае x_3=x_4=0, то есть Алиса будет максимизировать функцию U_3=x_1x_2. Других трат нет, так что она может потратить на конфеты и печенье сумму 2000. Составим бюджетное ограничение: 250x_1+110x_2=2000, откуда x_2=200/11-(25/11)x_1. Подставляя это в функцию полезности, получаем U_3=x_1(200/11-(25/11)x_1). Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: x_1^*=4. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: U_3^*=400/11.
Нетрудно заметить, что лучше не ходить на выставку вообще, чем ходить в обуви на длинных шпильках (400/11>389/11, так что вариант 1 никогда не является наилучшим для Алисы). Чтобы сравнить варианты 2 и 3, составим неравенство:
\frac{(2000 - p_3)^2}{110000} + 36 \geq \frac{400}{11}
Решая это неравенство с учетом не отрицательности цены, получаем p_3\leq 1800, то есть при ценах, больших 1800, Алиса предпочтет вариант 3, а при ценах, меньших 1800, — вариант 2 (при p_3=1800 она безразлична между вариантами). Составим функции спроса:
x_1^* = \begin{cases} \frac{2000 - p_3}{500}, & \text{если } p_3 \leq 1800, \\ 4, & \text{если } p_3 > 1800, \end{cases} x_2^* = \begin{cases} \frac{2000 - p_3}{220}, & \text{если } p_3 \leq 1800, \\ \frac{100}{11}, & \text{если } p_3 > 1800, \end{cases}
x_3^* = \begin{cases} 1, & \text{если } p_3 \leq 1800, \\ 0, & \text{если } p_3 > 1800, \end{cases} x_4^*=0
Примечание:
Задача основана на реальных событиях.
Источник задачи — домашнее задание по курсу «Микроэкономика-1» Совместной программы НИУ ВШЭ и РЭШ по экономике.