Алиса может выбрать один из трех вариантов:

1 ) Пойти на выставку, взяв обувь напрокат.

2 ) Пойти на выставку без обуви, взятой напрокат.

3 ) Не ходить на выставку (в этом случае брать обувь напрокат нет смысла).

Рассмотрим вариант 1. В этом случае x_3=x_4=1, то есть Алиса будет максимизировать функцию U_1=x_1x_2+20 (осталось выбрать только потребление конфет и печенья). Поскольку Алиса берет обувь напрокат за p_4=700, а выставка бесплатна, она может потратить на конфеты и печенье 1300. Составим бюджетное ограничение: 250x_1+110x_2\leq 1300. Понятно, что в силу возрастания функции полезности Алиса будет тратить все деньги, так что x_2=130/11-(25/11)x_1. Подставляя это в функцию полезности, получаем U_1=x_1(130/11-(25/11)x_1)+20. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: x_1^*=13/5. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: U_1^*=389/11.

Рассмотрим вариант 2. В этом случае x_3=1, x_4=0, то есть Алиса будет максимизировать функцию U_2=x_1x_2+36. Поскольку Алиса покупает билет на выставку за p_3, она может потратить на конфеты и печенье (2000-p_3). Составим бюджетное ограничение: 250x_1+110x_2=2000-p_3, откуда x_2=(2000-p_3)/110-(25/11)x_1. Подставляя это в функцию полезности, получаем U_2=x_1((2000-p_3)/110-(25/11)x_1)+36. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: x_1^*=(2000-p_3)/500.

Подставляя это в функцию, находим максимальное значение:

U_2^* = \frac{(2000 - p_3)^2}{110000} + 36.

Рассмотрим вариант 3. В этом случае x_3=x_4=0, то есть Алиса будет максимизировать функцию U_3=x_1x_2. Других трат нет, так что она может потратить на конфеты и печенье сумму 2000. Составим бюджетное ограничение: 250x_1+110x_2=2000, откуда x_2=200/11-(25/11)x_1. Подставляя это в функцию полезности, получаем U_3=x_1(200/11-(25/11)x_1). Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: x_1^*=4. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: U_3^*=400/11.

Нетрудно заметить, что лучше не ходить на выставку вообще, чем ходить в обуви на длинных шпильках (400/11>389/11, так что вариант 1 никогда не является наилучшим для Алисы). Чтобы сравнить варианты 2 и 3, составим неравенство:

\frac{(2000 - p_3)^2}{110000} + 36 \geq \frac{400}{11}

Решая это неравенство с учетом не отрицательности цены, получаем p_3\leq 1800, то есть при ценах, больших 1800, Алиса предпочтет вариант 3, а при ценах, меньших 1800, — вариант 2 (при p_3=1800 она безразлична между вариантами). Составим функции спроса:

x_1^* = \begin{cases} \frac{2000 - p_3}{500}, & \text{если } p_3 \leq 1800, \\ 4, & \text{если } p_3 > 1800, \end{cases} x_2^* = \begin{cases} \frac{2000 - p_3}{220}, & \text{если } p_3 \leq 1800, \\ \frac{100}{11}, & \text{если } p_3 > 1800, \end{cases}

x_3^* = \begin{cases} 1, & \text{если } p_3 \leq 1800, \\ 0, & \text{если } p_3 > 1800, \end{cases} x_4^*=0

Примечание:

Задача основана на реальных событиях.

Источник задачи — домашнее задание по курсу «Микроэкономика-1» Совместной программы НИУ ВШЭ и РЭШ по экономике.