S038
Не испытывая никаких финансовых ограничений, принцесса Фухимори 24 часа в сутки ест пирожные, играет в гольф и занимается верховой ездой. Для того чтобы съесть одно пирожное, ей требуется один час. В процессе еды она не играет в гольф и не катается на лошади. Каждое пирожное принцесса должна компенсировать физической нагрузкой – получасом игры в гольф или тремя часами верховой езды, либо линейной комбинацией той и другой нагрузки. И наоборот, каждые полчаса игры в гольф или три часа верховой езды должны компенсироваться одним пирожным.
Функция полезности принцессы имеет вид: U=XYZ, где X – число часов игры в гольф, Y – число часов верховой езды (то и другое в сутки), Z – число пирожных, съеденных в течение суток.
Сколько пирожных съест принцесса в течение суток?
Поскольку каждые полчаса игры в гольф и каждые три часа катания на лошади позволяют принцессе съесть одно пирожное, то общее число съеденных за сутки пирожных можно выразить следующим образом: Z=\frac{X}{0,5}+\frac{Y}{3}.
В сутках 24 часа, поэтому X+Y+Z=24.\quad Z = 24 – X – Y.\quad 24-X-Y=\frac{X}{0,5}+\frac{Y}{3}.
Y = 18 – 2,25X.\quad Z = 24 – X – Y = 24 – X – (18 – 2,25X) = 6 + 1,25X.U = XY Z = X * (18 – 2,25X) * (6 + 1,25X) = – 2,8125X^3 + 9X ^2 + 108X.
U_{max} достигается при условии: U' = -8,4375X^2 + 18X + 108 = 0.
X_{1,2} = \frac{-18 \pm \sqrt{324 + 4 \cdot 8,4375 \cdot 108}}{-16,875} = \frac{-18 \pm \sqrt{3969}}{-16,875} = \frac{-18 \pm 63}{-16,875}. \quad X = 4,8.
Y = 18 – 2,25X = 7,2. \quad Z = 24 – X – Y = 12.
Ответ: 12 пирожных.