а) По основному макроэкономическому тождеству для закрытой экономики, Y = C + I + G. Поскольку изначально G = T = 0 , Y = 4 + \sqrt{Y} + 16 + 0 , и Y = 20 + \sqrt{Y} . Это уравнение квадратное относительно x = \sqrt{Y}, имеем x^2 - x - 20 = 0, откуда x=5 (подходит только положительный корень). Значит, Y = x^2 = 25.

Ответ: Y = 25 .

б) Теперь уравнение на Y запишется как Y = 4 + \sqrt{Y} + 16 + 10 , Y = \sqrt{Y} + 30. Это уравнение квадратное относительно x = \sqrt{Y}, имеем x^2 - x - 30 = 0, откуда x=6 (подходит только положительный корень). Значит, Y = x^2 = 36 .

Ответ: Y = 36 .

в) В этом случае уравнение на Y запишется как Y = 4 + \sqrt{Y} + 16 + 22, Y = \sqrt{Y} + 42 . Это уравнение квадратное относительно x = \sqrt{Y} , имеем x^2 - x - 42 = 0 , откуда x = 7 (подходит только положительный корень). Значит, Y = x^2 = 49.

Ответ: Y = 49 .

г) Мультипликатор госрасходов равен

mult_G = \frac{\Delta Y}{\Delta G}.

Для пункта б) имеем

mult_G = \frac{36 - 25}{10 - 0} = \frac{11}{10}.

Поскольку \frac{11}{10} \neq \frac{12}{11} , мультипликаторы не равны.

д) При сбалансированном бюджете размеры увеличения госзакупок и налогов одинаковы, \Delta G = \Delta T. (В данном случае это означает, что просто G = T. Найдем равновесный ВВП при каждом \Delta G в данной задаче.

Имеем

Y = 4 + \sqrt{Y - \Delta G} + 16 + \Delta T = 4 + \sqrt{Y - \Delta G} + 16 + \Delta G

Сделав замену \sqrt{Y - \Delta G} = x, получаем уравнение x^2 - x - 20 = 0 , которое мы уже решили в пункте а): x = 5 . Поэтому Y - \Delta G = x^2 = 25, и окончательно

Y = 25 + \Delta G.

Поэтому при росте госзакупок и налогов одновременно на \Delta G, ВВП вырастет ровно на то же \Delta G. Следовательно, мультипликатор сбалансированного бюджета в данной задаче, так же как и в стандартной модели, равен единице для любого размера увеличения госзакупок.

Ответ: Верно.

Примечания:

- В пункте г) мы получили, что мультипликатор госзакупок зависит от их размера. Следовательно, что расходится со стандартной моделью, в которой функция потребления линейна (предельная норма потребления постоянна) и мультипликатор всегда равен 1/(1 - mpc) .

- То, что мультипликатор для большого увеличения госзакупок у нас получился более низким \left(\frac{12}{11} < \frac{11}{10}\right) , можно объяснить тем, что предельная норма потребления здесь убывает со ростом дохода, что можно проверить с помощью производной. При более высоком уровне дохода домашние хозяйства тратят меньшую долю прироста дохода на потребление, и поэтому мультипликативный эффект уменьшается.

- А вот в пункте д) мы получили, что другое свойство стандартной модели — равенство единице мультипликатора сбалансированного бюджета — выполняется и при нашей нелинейной функции потребления. На самом деле, несложно проверить, что это свойство выполнено вообще для любой функции потребления. Пусть она имеет вид C(Y_d) , изначально налоги равны T_0 , госзакупки равны G_0 , и государство увеличивает и те, и другие на \Delta. Тогда ВВП будет определяться уравнением:

Y = C(Y - T_0 - \Delta) + G_0 + \Delta + I

Y - \Delta = C(Y - \Delta - T_0) + G_0 + I

Обе части уравнения зависят от Y и \Delta только через их разность. Поэтому сделав замену Y - \Delta = x , мы можем решить это уравнение относительно x, получив некий корень x_0. Но тогда Y - \Delta = x_0, Y = x_0 + \Delta , что и означает, что мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице.