Торговля сливами в регионах
Сливы в Лимонии производятся и потребляются только в двух регионах: Альфа и Вета. При этом в каждом регионе работает по одному производителю слив.
Специалисты Центра анализа рынка выяснили, что перевозка слив между регионами стоит одинаково: по 5 ден.ед. за каждую единицу слив в любую сторону, и, что обе фирмы конкурируют по выпускам, выбирая их одновременно. Кроме того, аналитики установили, что существуют зависимости цен на сливы от объёмов импорта слив в каждом регионе, а также объёмов производства каждой из фирм от ставки потоварного налога на потребление слив, введённого в регионе Альфа ( t_a – ставка налога на единицу товара в регионе Альфа). Ставка налога на потребление в регионе Вета равна 15 ден.ед. за каждую единицу слив.
Примечание: специалисты утверждают, что полученные ими зависимости верны только для положительных значений производства и импорта.
А) ( 20 баллов) Найдите функции спроса в каждом регионе и функции предельных издержек у каждой фирмы. Исходите из предположения, что вид любой из этих четырёх функций не меняется при неотрицательных количествах.
Нахождение спросов ( 10 баллов всего)
Спрос в регионе А : Q_{da}=q_1+Im_a-Im_b =19-\frac{t_a}{5}+16{,}5-\frac{11\,t_a}{30}-\Big(2+\frac{t_a}{15}\Big) =33{,}5-\frac{19\,t_a}{30} ( 2 балла)
Спрос в регионе В : Q_{db}=q_2-Im_a+Im_b =28-\frac{2\,t_a}{5}+\Big(2+\frac{t_a}{15}\Big)-16{,}5+\frac{11\,t_a}{30} =13{,}5+\frac{t_a}{30} ( 2 балла)
Вариант 1 : Можно заметить, что \qquad Q_{da}+P_a=60,\quad Q_{db}+P_b=26, это и есть спросы
Вариант 2 : Выражаем t_a через P_a и P_b и подставляем в Q_{da} и Q_{db}. Например
\frac{19\,t_a}{30}=26{,}5-P_a
Q_{da}=33{,}5-\frac{19\,t_a}{30}=33{,}5+26{,}5-P_a=60-P_a
За верный подход к поиску спросов 4 балла. За каждую найденную функцию спроса 1 балл.
Если спросы найдены с ошибкой без вычета импорта в другой регион, то снимаются баллы только 4 балла за выражение величин спроса от ставок налогов.
Если линейность спроса предполагалась, но не выводилась, то 3 балла следует вычесть из 6 баллов за нахождение спросов.
Нахождение MC ( 10 баллов всего)
\mathrm{Pr}_1=(P_a-t_a)\,q_{1a}+(P_b-t_b-5)\,\mathrm{Im}_b - TC(\mathrm{Im}_b+q_{1a}) \longrightarrow \max\ \text{ по } q_{1a} \text{ и } \mathrm{Im}_b
\mathrm{Pr}_2=(P_a-t_a)\,\mathrm{Im}_a+(P_b-t_b)\,q_{1b}-TC(\mathrm{Im}_a+q_{1b}) \longrightarrow \max\ \text{ по } q_{1b} \text{ и } \mathrm{Im}_a
\mathrm{MR1a}=60-2\cdot q_{1a}-t_a-\mathrm{Im}_a = MC1(\mathrm{Im}_b+q_{1a}) = \mathrm{MR1b}=26-2\cdot\mathrm{Im}_b-t_b-5-q_{2b}
\mathrm{MR2a}=60-2\cdot\mathrm{Im}_a-t_a-5-q_{1a}=MC2(\mathrm{Im}_a+q_{2b})=\mathrm{MR2b}=26-2\cdot q_{2b}-t_b-\mathrm{Im}_b
Выражаем MC через t_a
\mathrm{MC}_1 = 26 - 2\cdot \mathrm{Im}_b - t_b - 5 - q_{2b} = 26 - 2\cdot\bigg(2+\frac{t_a}{15}\bigg)-15-5-(q_2-\mathrm{Im}_a) = 2 - \frac{2\,t_a}{15} - \frac{7\,t_b}{15} -\Big(28 - \frac{2\,t_a}{5} -\big(16.5 - \frac{11\,t_a}{30}\big)\Big) = -9.5 - \frac{t_a}{10}.
q_1=19-\frac{t_a}{5} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{t_a}{5}=19-q_1
MC1=-9{,}5-\frac{t_a}{10} = -9{,}5 - \frac{19-q_1}{2} = \frac{q_1}{2}-19
\mathrm{MC}_2 = 26 - 2\cdot q_{2b} - t_b - \mathrm{Im}_b = 26 - 2\cdot (q_2 - \mathrm{Im}_a) - t_b - \mathrm{Im}_b = 11 - 2\cdot\Big(28 - \frac{2\,t_a}{5} - \big(16.5 - \frac{11\,t_a}{30}\big)\Big) - \big(2 + \tfrac{t_a}{15}\big) = -14 (при любом значении q_2 )
За верный подход к поиску MC \ 4 балла. За каждую найденную функцию MC \ 1 балл. Если MC найдены с ошибкой без вычета импорта в другой регион, то снимаются только 4 балла за выражение величин спроса от ставок налогов. Если линейность MC предполагалась, но не выводилась, то 3 балла следует вычесть из 6 баллов за нахождение MC.
Б) ( 20 баллов) Найдите объемы производства в обоих регионах, которые бы максимизировали сумму излишков потребителей и прибылей фирм. Приведите качественное объяснение полученного результата. Приведите один пример мер государственного регулирования, при помощи которых можно было бы добиться таких значений объёмов производства.
Вариант 1 : Максимальное благосостояние общества достигается при P_d=MC ( 2 балла)
При этом следует выбирать производство на том предприятии, где будут достигаться минимальные TC с учётом и транспортных издержек ( 4 балла за такое или эквивалентное рассуждение). Тогда в силу симметрии издержек на доставку в первом регионе будет произведено q_1/2-19=-14+5=>q_1=20, а весь остальной выпуск будет произведён во втором регионе ( 6 баллов за такое или эквивалентное рассуждение).
MC (для рынка А при оптимальном выпуске) =-9 ( 2 балла)
MC (для рынка В при оптимальном выпуске) =-14 ( 2 балла)
P_{da}=-9 \quad Q_{da}=60+9=69 \quad P_{db}=-14\quad Q_{db}=26+14=40
q_1=20 ( 1 балл) q_2=Q_{da}+Q_{db}-q_1=89 ( 1 балл)
Вариант 2 :
SW = CS_a + CS_b + PS1 + PS2 = -\frac{Q_{da}^2}{2} -\frac{Q_{db}^2}{2} + (60-Q_{da})\cdot Q_{da} + (26-Q_{db})\cdot Q_{db} -5\cdot \mathrm{Im}_a -5\cdot \mathrm{Im}_b -\frac{q_1^2}{4} + 19\cdot q_1 + 14\cdot q_2 = 60\cdot Q_{da} - \frac{Q_{da}^2}{2} + 26\cdot Q_{db} - \frac{Q_{db}^2}{2} -5\cdot \mathrm{Im}_a -5\cdot \mathrm{Im}_b -\frac{(Q_{da}-\mathrm{Im}_a+\mathrm{Im}_b)^2}{4} +14\cdot (Q_{db}-\mathrm{Im}_a+\mathrm{Im}_b) +19\cdot (Q_{da}-\mathrm{Im}_b+\mathrm{Im}_a)=>max по Q_{di}, \ Im_i
Верная запись излишков потребителей по 1 баллу, излишков производителей по 2 балла
Очевидно, что от импорта в регион В благосостояние падает, поэтому Im_b=0 ( 6 баллов)
Далее через максимизацию парабол (ЭПВВН) находим Q_{db}=40
Q_{da}=69 ( 1 балл) Im_a=49 ( 1 балл)
q_1=Q_{da}-Im_a=20 ( 1 балл) q_2=Q_{da}+Q_{db}-q_1=89 (1 балл)
Если использовались неправильные спросы или MC из п. А), то баллы в п. Б) не снимаются, а решение проверяется при ошибочно найденных спросах и MC. Данная оговорка не действует в двух случаях: 1) спросы с положительным наклоном 2) отсутствуют издержки, кроме транспортных. В последних двух случаях может быть оценено только утверждение, что P_d=MC ( 2 балла)
Пример регулирования: ввести потолки цен P_{da}=-9 и P_{db}=-14 ( 4 балла)
Если не приведено конкретных значений параметров регулирования, то ставится 0 баллов.