1) Заметим, что у фирмы предельная выручка на внутреннем рынке убывает, на мировом рынке постоянна, а предельные издержки производства возрастают, поэтому в оптимуме будет MR_h=MR_f=MC. При субсидировании внутренний спрос становится равным q_d=25+s-5, тогда MR_h=35+s-2q. Предельная выручка на конкурентном внешнем рынке равна мировой цене за вычетом экспортного налога, т.е. MR_f=p_w-t=60-t. Наконец, MC=2q, гдеq=q_h+q_f. Таким образом, оптимум фирмы описывается равенством 35+s-2q_h=60-t=2(q_h+q+f). Фактически это система двух уравнений с двумя неизвестными (q_h, q_f) и двумя параметрами (s, t). Решив систему относительно выпусков, получим q_h = \frac{s + t - 25}{2}, \quad q_f = \frac{85 - s - 2t}{2}.

Естественно, это при s+t-25\geq 0 и 85-s-2t\geq 0 – выпуск продукции не может быть отрицательным (случаи, когда один из выпусков равен нулю, тоже нет смысла рассматривать в этой задаче). Всё это можно было получить и без знания о предельных издержках и предельной выручке, а просто рассматривая квадратичную функцию прибыли от двух аргументов. Теперь можно записать, как от ставок субсидии и налога зависят расходы на субсидирование и доходы от налогообложения:

S = q_h s = s \frac{s + t - 25}{2} \leq T = q_f t = t \frac{85 - s - 2t}{2}.

Это неравенство можно привести к виду 25s+85t-s^2-2st-2t^2\geq 0.

Это будет "бюджетное ограничение" государства.

Задача государства – максимизировать количество продаж на внутреннем рынке:

q_h = \frac{s + t - 25}{2} \rightarrow \max_{s,t}

Это равносильно максимизации суммы s+t ; эту величину можно назвать u=s+t. Преобразуем бюджетное ограничение: 25u+60t-u^2-t^2\geq 0.

Таким образом, надо относительно u решить квадратное неравенство u^2-25u+(t^2-60t)\leq 0, но не просто решить, а так, чтобы во множество решений вошло как можно большее значение u. Это означает, что неравенство будет выполнено как равенство и что искомое u – это правый корень квадратного уравнения u^2-25u+(t^2-60t)=0. Видим, что при u^2 и при u стоят уже известные коэффициенты, а t влияет только на параллельный сдвиг графика вверх-вниз, поэтому чтобы правый корень был как можно больше, надо сдвинуть график – параболу с ветвями вверх – как можно ниже, а для этого, очевидно, минимизировать t^2-60t.

Минимум достигается в t=30. Далее можно различным путями найти ставку субсидии. Например, подставить t=30, получить уравнение u^2-25u-900=0 и увидеть, что интересующий нас корень составляет u=45, откуда s=15. Значит, q_h=10, q_f=5, при этом S=T=150. Достигнутый внутренний выпуск q_h больше, чем можно было бы добиться простым запретом торговать на мировом рынке: в таком случае фирма внутри страны продавала бы g_h=8,75<10

2) Если налог вводится по ставке не выше чем t=25, то фирма по-прежнему будет работать только на внешнем рынке, как и в отсутствие государственного вмешательства. Оптимум фирмы будет определяться равенством мировой цены за вычетом налога и предельных издержек: 60-t=2q_f, откуда q_f = \frac{60 - t}{2}, \quad T = t q_f = t \frac{60 - t}{2}.

Если налог вводится по ставке выше t=25, то фирма будет работать уже на обоих рынках, как в пункте 1, только этот случай будет отличаться отсутствием субсидии. Оптимум фирмы будет определяться равенством внутренней предельной выручки, мировой цены за вычетом налога и предельных издержек. Таким образом, можно просто в выкладки пункта 1 подставить s=0 и получить q_f = \frac{85 - 2t}{2}, \quad T = t q_f = t \frac{85 - 2t}{2}.

Это будет продолжаться до тех пор, пока мировая цена минус налог не опустится ниже значения внутренней предельной выручки, которую в оптимуме получала бы фирма, если бы совсем не торговала на мировом рынке: MR_h(8,75)=17,5. Таким образом, фирма будет торговать на двух рынках, если 60-t\geq 17,5, или t\leq 42,5. При дальнейшем повышении ставки налога фирма перестаёт работать на мировом рынке: q_f=0, T=0.

Итак,

T=0,5t(60-t) при 0\leq t\leq 25

T=0,5t(85-2t) при 25\leq t\leq 42,5

T=0 при t\geq 42,5.

Таким образом, вершина первой параболы с ветвями вниз находится правее границы, а вершина второй параболы с ветвями вниз находится левее границы. Это значит, что максимум будет достигаться в точности на границе промежутков при t=25.