А) При любых А оптимальная цена, при которой выручка от группы с неизвестным спросом максимальна, будет не больше 250, а при этой цене вторая группа так же потребляет товар, значит оптимально будет продавать товар обеим группам точно при A\geq 150. При меньших A мы будем продавать товар либо второй группе, так как её готовность платить выше, либо обеим группам: TR_2=22500 или TR_{общ}=(300+A)p-2p^2 – парабола ветвями вниз, при максимизации которой получаем p^* = 0.25(300 + A) \leq A \implies A \geq 100 – при таких значениях параметра оптимальная цена ниже резервной цены второго спроса, а при меньших A в этой функции выручка от первой группы отрицательная, значит оптимальная цена будет ближайшей доступной, то есть резервная для первой группы, а это значит, что мы точно будем торговать только для второй группы при A\leq 100. Теперь сравним выручки при A>100:0,125(300+A)^2>22500\implies A>300(\sqrt 2-1)>100 – при таких A мы обслуживаем обе группы, тогда итоговая выручка имеет вид:

TR^* = \begin{cases} 0.125(300 + A)^2, & 300(\sqrt{2} - 1) \leq A \leq 500, \\ 22500, & 0 \leq A < 300(\sqrt{2} - 1). \end{cases}

Б) Мы будем готовы заплатить максимум минимальную разницу в прибылях, но при A=300 мы уже не выиграем от дискриминации, а значит ничего не заплатим.

В) Теперь выручка от продажи обеим группам имеет вид: TR_{общ}=(A-p)px+(300-p)p(12-x) – это линейная функция, которая принимает максимум на одном из концов области определения, то есть x^*=12 или x^*=0. Значит, мы будем обслуживать только одних посетителей. Максимальная выручка от первой группы0,25A^2>22500 \implies A>300. Тогда при A>300 всё время уходит на вторую группу ( с неизвестным спросом), а при A\leq 300 – на первую группу.

Г) Здесь уже так просто промаксимизировать не получится, так как для каждого значения x меняются максимальные цены в отличие от прошлого пункта.

TR=p(3600-300x+Ax)-12p^2

p^*=(3600-300x+Ax)/24, а если эта цена будет выше резервной одной из групп, то этот вариант будет заведомо хуже, так как в функции эта выручка будет считаться отрицательной, а значит общая будет точно не больше, чем при продаже одной группе, что мы учтём при сравнении этих альтернатив. При подстановке оптимальной цены получим TR=(3600+x(A-300))^2/48. Вместо лобовой максимизации скажем, что функция вида Y=t^2/48 монотонно возрастает при положительных t, значим максимизация функции равносильна максимизации положительного аргумента, то есть выражения в скобках, тогда при A>300 всё время уходит на вторую группу ( с неизвестным спросом), а при A\leq 300 – на первую группу, как и в прошлом пункте.

P.S. иногда гораздо удобнее максимизировать по другой переменной, как в этой

задаче.

Ответ:

А) смотреть в условии

Б) 0

В) при A>300 всё время уходит на вторую группу ( с неизвестным спросом), а при A\leq 300 – на первую группу

Г) Аналогично пред. пункту