Целебная вода.
Абрек Джек живет у подножия Артезианского источника. Он может абсолютно бесплатно набирать в неограниченном количестве воду, на которую предъявляют спрос жители двух соседних населенных государств (в каждом по одному). Спрос первой группы , а спрос второй группы , где может принимать значения от до .
А) Джек борец за справедливость, поэтому дискриминировать никого не будет. Найдите максимальную выручку для каждого значения из заданного промежутка.
Б) Сколько гарантированно готов был бы заплатить Джек, чтобы узнать заранее, если он решится дискриминировать потребителей (плата служит моральным стимулом за причинение вреда, иначе он не будет дискриминировать)?
В) Пусть теперь в каждом пункте спрос предъявляют человек, но на заготовку и отправку воды требуется час, а больше часов Джек работать не готов, как стоит распределять часы между потребителями для каждого из условия? Учтите, что часы целые.
Г) Начало работать сарафанное радио: если в одном государстве купят воду человек, готовность каждого платить вырастет ровно в раз. Найдите разделения времени между продукцией для потребителей теперь при условии из предыдущего пункта.
Ответ
А) При любых А оптимальная цена, при которой выручка от группы с неизвестным спросом максимальна, будет не больше , а при этой цене вторая группа так же потребляет товар, значит оптимально будет продавать товар обеим группам точно при . При меньших мы будем продавать товар либо второй группе, так как её готовность платить выше, либо обеим группам: или – парабола ветвями вниз, при максимизации которой получаем – при таких значениях параметра оптимальная цена ниже резервной цены второго спроса, а при меньших в этой функции выручка от первой группы отрицательная, значит оптимальная цена будет ближайшей доступной, то есть резервная для первой группы, а это значит, что мы точно будем торговать только для второй группы при . Теперь сравним выручки при – при таких мы обслуживаем обе группы, тогда итоговая выручка имеет вид:
Б) Мы будем готовы заплатить максимум минимальную разницу в прибылях, но при мы уже не выиграем от дискриминации, а значит ничего не заплатим.
В) Теперь выручка от продажи обеим группам имеет вид: – это линейная функция, которая принимает максимум на одном из концов области определения, то есть или . Значит, мы будем обслуживать только одних посетителей. Максимальная выручка от первой группы. Тогда при всё время уходит на вторую группу ( с неизвестным спросом), а при – на первую группу.
Г) Здесь уже так просто промаксимизировать не получится, так как для каждого значения меняются максимальные цены в отличие от прошлого пункта.
, а если эта цена будет выше резервной одной из групп, то этот вариант будет заведомо хуже, так как в функции эта выручка будет считаться отрицательной, а значит общая будет точно не больше, чем при продаже одной группе, что мы учтём при сравнении этих альтернатив. При подстановке оптимальной цены получим . Вместо лобовой максимизации скажем, что функция вида монотонно возрастает при положительных , значим максимизация функции равносильна максимизации положительного аргумента, то есть выражения в скобках, тогда при всё время уходит на вторую группу ( с неизвестным спросом), а при – на первую группу, как и в прошлом пункте.
**P.S. иногда гораздо удобнее максимизировать по другой переменной, как в этой **
задаче.
Ответ:
А) смотреть в условии
Б)
В) при всё время уходит на вторую группу ( с неизвестным спросом), а при – на первую группу
Г) Аналогично пред. пункту