Дайте концерт
Музыкальная группа «Дайте задач(!)» собирается устроить концерт. Считайте, что группа не несет никаких затрат и всегда максимизирует суммарную выручку от продажи билетов. Известно, что продажа билетов начинается за дней до концерта и заканчивается в день проведения концерта .
Фанат готов купить билет и пойти на концерт, если цена билета не превышает его готовность платить за билет, которая определяется функцией , где — день, в который человек купил билет, , . Каждый фанат приобретает билет в тот день, когда разница между его готовностью платить и ценой билета наибольшая.
Продавец устанавливает цену в первый день продаж, то есть в , а затем в любой из оставшихся дней может её единожды поднять до . Покупатели знают схему ценообразования до начала продаж, в том числе цены и день поднятия цены. Группа может продать неограниченное количество билетов, но один человек может купить только один билет. Перепродажа запрещена, если не сказано обратное. Считайте, что если человеку всё равно, в какой день купить билет, он купит в день, ближайший к концерту.
( балла) Приведите экономическую интерпретацию параметров и .
.
Коэффициент определяет автономную полезность от посещения концерта. Через этот коэффициент может определяться любовь потребителя к группе. Коэффициент означает прирост полезности по мере приближения ко дню концерта. Коэффициент может означать прирост полезности от прироста уверенности в том, что человек сможет пойти на концерт.
( балла) Найдите цены и , если у всех фанатов одинаковая готовность платить равная .
Продавец будет пытаться установить максимально возможную цену для группы фанатов. Заметим, что готовность платить возрастает по мере приближения к концерту. Значит, в самый последний день покупатели будут готовы заплатить наибольшую цену. Максимизирующий выручку продавец, будет продавать билет по наибольшей возможной цене, т.е. по цене в день . Значит, .
Определим, чему может быть равна цена . Предположим, что он повышает цену в день . Цена должна быть такой, чтобы покупатели купили билет в последний день, т.е. она должна быть выше готовности платить в каждый из дней до : .
( баллов) На рынок зашла вторая группа фанатов, равная по численности первой. Её готовность платить равна . Найдите цены и , если .
График готовностей платить имеет следующий вид:
Точка пересечения находится приравниваем функций .
Мы видим, что до дня готовность платить для группы выше, чем для группы , а после -го дня наоборот. Продавец может установить цены и таким образом, чтобы группы купила по цене , а группа – по цене . Действительно: при установлении цену и и повышении в день , группа купит в день, предшествующий повышению , так как после него её готовность платить всегда ниже . В то же время, группа купит билет в последний день, так как во все дни, когда билеты продаются по цене , её готовность платить ниже.
Проверим, что продажа, при которой мы разделяем две группы, принесёт больше прибыли, чем при установлении общей для всех цены. Будет считать, что в каждой группе покупателей. Тогда раздельная продажа принесёт . Если продавец продает билет только первой группе по её максимальной цене, то прибыль, очевидно, будет меньше —. Если продаёт обеим группам по максимальной цене второй , то он получит прибыль (меньше, чем ).
( баллов) Найдите цены и , если больше и меньше . Ваш ответ должен зависеть от параметра .
Здесь может быть рассмотрено несколько случаев, в зависимости от взаимного расположения графиков.
Графики пересекаются в . Находим пересечение: , . Так как . Допустим, цены и разделяющие, как в п. . Тогда мы продаём второй группе по , а первой по цене (аналогично пункту ). Прибыль в случае продажи по разным ценам: . При ограничении , максимальная цена для второй группы ниже, чем для первой. Тогда, если устанавливается общая цена, то она будет равна . Билеты продаются обеим группам, и выручка составит . Сравниванием выручки в случае продажи по разным ценам и по одной: при ограничении . После упрощения остаётся: . Значит, продажа по разным ценам всегда выгоднее, чем продажа по одной цене. Таким образом, при будут установлены цены и , а повышение произойдёт в день .
Графики не пересекаются при . Такое расположение графиков будет при . Заметим, что при таком ограничении готовность платить второй группы будет всегда выше, чем готовность платить первой группы. Тогда продавец не сможет разделить покупателей. Тогда существует два варианта: продать в последний день только первой группе по цене или продать обеим группам по цене . Сравниваем выручки в двух случаях: при ограничении . Упрощая неравенство, получаем . Получается, при заданных ограничениях выгодно продавать обеим группам. Будет установлено .
Найдём ограничения для . Рассмотрим день, в который полезность второй группы достигнет : , для . До этого дня ограничение на цену: , . Если , то , где — день, в который меняется цена.
( баллов) На рынок вошла ещё одна группа покупателей, равная по численности первой. Представители этой группы могут купить билеты в любой день и перепродать позже по более высокой цене покупателям из первой и второй группы. Выигрыш перекупщиков определяется разностью цены проданного и купленного билета. Перекупщики работают только при положительной прибыли. Считайте, что все агенты обладают полной информацией о том, как действуют все другие агенты на данном рынке. Какие цены будут установлены продавцом? Ваш ответ должен зависеть от параметра , который больше и меньше .
Что изменилось с появлением перекупщиков? Приведите один способ, как максимизирующий прибыль продавец может ограничить перекупщикам возможность перепродажи билетов. (Если вы приведёте более одного способа, то оцениваться будет только первый.)
В случае , продавец будет всегда ставить постоянную цену и перекупщики не выйдут на рынок.
Рассмотрим случай . Если перекупщики купят билет по цене , то смогут продать его по цене и переманить всех покупателей. Тогда продавец билетов сможет поставить цену и т.д. Таким образом они будут конкурировать, пока не установится цена . Перекупщикам невыгодно ставить такую цену и ниже, поэтому они уйдут с рынка.
Следует рассматривать случая:
I. Устанавливается цена для обеих групп.
II. С первого дня устанавливается цена , покупает только первая группа.
III. С первого дня устанавливается цена , покупает группы.
Для случаев I. и III. количество покупателей в два раза больше. Заметим, что в случае I. прибыль не выше, чем в случаях II. и III. Если , то выгоднее поставить . Если , то выгоднее поставить . Если , то выручка при этих двух ценах одинаковая. С появлением перекупщиков возможность дискриминировать пропала. Для борьбы с ними можно продавать именные билеты.