S025
Некий гуманоид использует для медитации оранжевые и зеленые шарики из полудрагоценных камней. Каждый шарик может быть использован в неограниченном числе актов медитации. Эффективность медитации определяется формулой: , где – число используемых при медитации оранжевых шариков, – число используемых зеленых шариков (, ). В настоящее время гуманоид имеет некоторое количество шариков того и другого цвета (всего их ), но, как показывает функция полезности, желательно иметь их как можно больше. Если бы можно было обменять зеленые шарики на оранжевые в пропорции , то гуманоид обменял бы зеленых (из числа имеющихся у него) на оранжевых. Если бы, наоборот, можно было обменять оранжевые на зеленые в пропорции , то гуманоид обменял бы оранжевых на зеленых.
Сколько оранжевых и сколько зеленых шариков имеет гуманоид в настоящее время?
Внимание: ответ должен быть численным; он не должен выражаться через a и b.
Ответ
Пусть первоначальное количество оранжевых шариков равно , зеленых – .
Критерий оптимума для функции Кобба-Дугласа: . где и - объемы благ после обмена.
Рассмотрим первую ситуацию, где , , .
.
Рассмотрим вторую ситуацию, где , , .
.
Поделив соответственно правые и левые части уравнений и друг на друга, получим:
. .
Из условия известно, что . . .
. . .
Ответ. В настоящее время гуманоид имеет либо оранжевых шариков и зеленых, либо оранжевых и зеленых.