Пусть первоначальное количество оранжевых шариков равно X_0, зеленых – Y_0.

Критерий оптимума для функции Кобба-Дугласа: \frac{1}{a} P_X X = \frac{1}{b} P_Y Y. где X и Y - объемы благ после обмена.

Рассмотрим первую ситуацию, где \frac{P_Y}{P_X} = 2, \frac{1}{a} P_X X = \frac{1}{b} 2 P_X Y, \frac{1}{a} X = \frac{1}{b} 2 Y.

\frac{1}{a}(X_0 + 22) = \frac{1}{b} 2 (Y_0 - 11) (1).

Рассмотрим вторую ситуацию, где \frac{P_X}{P_Y} = 2 , \frac{1}{a} \cdot 2 P_Y X = \frac{1}{b} P_Y Y , \frac{1}{a} \cdot 2 X = \frac{1}{b} Y.

\frac{1}{a} \cdot 2 (X_0 - 8) = \frac{1}{b} (Y_0 + 16) (2).

Поделив соответственно правые и левые части уравнений (1) и (2) друг на друга, получим:

0.5 \cdot \frac{X_0 + 22}{X_0 - 8} = 2 \cdot \frac{Y_0 - 11}{Y_0 + 16}. 0.5 (X_0 + 22)(Y_0 + 16) = 2 (Y_0 - 11)(X_0 - 8).

Из условия известно, что X_0+Y_0=80. Y_0=80-X_0. (X_0 + 22)(80 – X_0 +16) = 4(80 – X_0 – 11)(X_0 – 8). 3X_0^2 – 234X_0 + 4320 = 0.

X_0^2 – 78X_0 + 1440 = 0. X_{01} = 48, X_{02}=30. Y_{01} = 80 – X_{01} = 32. Y_{02} = 80 – X_{02} = 50.

Ответ. В настоящее время гуманоид имеет либо 48 оранжевых шариков и 32 зеленых, либо 30 оранжевых и 50 зеленых.