Кто должен строить дорогу?
В стране Заботливой есть 100 жителей, пользующихся бесплатной дорогой из пункта А в пункт B. За долгие годы дорога обветшала, и правительство задумывается о строительстве новой дороги. Качество старой дороги примем равным нулю. Чтобы построить новую дорогу качества q, нужно потратить q2( ден. ед. Полезность каждого жителя равна 0,1q + M, где q – качество дороги, которой он пользуется, M – его расходы на остальные товары и услуги. Доход каждого жителя равен единице.
(а) (6 баллов) Допустим, правительство решает построить новую дорогу самостоятельно, финансируя строительство с помощью введения аккордного налога, одинакового для всех жителей. Пользование новой дорогой будет бесплатным. Правительство стремится максимизировать суммарную полезность жителей. Дорогу какого качества построит правительство? Какова будет суммарная полезность жителей?
(б) (6 баллов) Теперь предположим, что правительство не хотело бы вводить новый налог, и поэтому отдает право постройки дороги частной фирме Ф. Фирма должна построить дорогу самостоятельно, но за это вознаграждается правом взимания платы за проезд. Фирма максимизирует прибыль. Житель соглашается оплатить проезд по новой дороге, если его полезность будет не ниже, чем при проезде по старой. Дорогу какого качества построит фирма? Какова будет плата за проезд и суммарная полезность жителей?
(в) (7 баллов) Заботясь о жителях, государство в условиях пункта б) отдает право на постройку дороги фирме только при условии, что плата за проезд будет не больше, чем 10% дохода жителя. Дорогу какого качества выберет фирма? Приведет ли такая мера к повышению благосостояния жителей по сравнению с пунктом б)?
(г) (6 баллов) Предложите правительству механизм, при котором (1) дорогу строит фирма; (2) правительство не может диктовать фирме качество дороги и размер платы за проезд; (3) правительство не вводит налогов на домохозяйства; (4) благосостояние каждого жителя будет таким же (или почти таким же), как в (а).
(а) При качестве дороги q аккордный налог на каждого жителя составит \frac{q^2}{100}, что уменьшит его расходы на остальные товары и услуги. При этом полезность каждого жителя составит 0,1q + \left(1 - \frac{q^2}{100}\right).
Суммарная полезность жителей будет равна 100 \left(0,1q + 1 - \frac{q^2}{100}\right) = 10q + 100 - q^2.
График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Максимум достигается в вершине параболы при q = 5.
Суммарная полезность будет равна 10 \cdot 5 + 100 - 5^2 = 125.
(б) Пусть плата за проезд равна p. Каждый житель согласится оплачивать проезд тогда и только тогда, когда 0,1q + 1 - p \geq 0 \Rightarrow 0,1 \cdot 0 + 1 \geq p \leq 0,1q.
Фирма будет максимизировать прибыль \pi = 100p - q^2 при условии p \leq 0,1q.
Из максимизации прибыли следует, что в оптимуме p = 0,1q. (Иначе можно увеличить p или уменьшить q, и прибыль увеличится.) Значит, \pi = 10q - q^2.
Максимизируя эту величину, фирма выберет q = 5, p = 0,5.
Индивидуальная полезность равна 1 — каждый житель безразличен между старой и новой дорогой.
Суммарная полезность жителей равна 100.
(в) Теперь фирма будет максимизировать прибыль \pi = 100p - q^2 при следующих условиях p \leq 0,1q, p \leq 0,1 \cdot 1 = 0,1. Из максимизации прибыли по-прежнему следует, что в оптимуме p = 0,1q (иначе можно уменьшить q). Поскольку p \leq 0,1, 0,1q \leq 1, то q \leq 1.
Так как целевая функция возрастает на отрезке [0; 1] (вершина параболы с ветвями вниз находится в точке q = 5), оптимальным значением является q = 1.
Суммарная полезность не увеличится: она, как и раньше, равна 100 — каждый житель по-прежнему безразличен между старой и новой дорогой. Следовательно, благосостояние жителей не повысится.
(г) Заметим, что прибыль фирмы в пункте (б) равна 100p - q^2 = 50 - 25 = 25, то есть как раз разница между полезностью потребителей в пунктах (а) и (б). (Это опять-таки не случайно.) Поэтому восстановить полезность из (а), оставляя строительство фирмы, можно, изъяв эту прибыль и передав ее потребителям. А именно, можно:
- отдать фирме право на постройку дороги не бесплатно (продать за величину, равную ее прибыли в (б), или чуть меньше), и полученную от фирмы плату раздать в виде аккордных трансфертов потребителям;
- фирма согласится (если ее прибыль с учетом оплаты права на постройку дороги будет, по крайней мере, неотрицательной);
- фирма выберет качество и цену как в (б) (поскольку вычитание из прибыли величины, при котором технологические изменения были бы целесообразны).