Задача 4. РЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)
Фирма «Один в поле» соперничает с фирмой «Не воин» по Курно. Обратная функция спроса на рынке имеет вид . Известно, что функция издержек каждой из фирм имеет вид .
а) Найдите равновесные количества и прибыли фирм.
( баллов)
Ответ
Построим кривые реакции фирм:
Это парабола ветвями вниз по — максимум в вершине .
Кривая реакции второй фирмы аналогична.
Пересекая кривые реакции, получаем .
.
б) Директор фирмы «Один в поле» решил отойти от дел и нанял Работника, который производит продукцию за него. Теперь Директор вместо того, чтобы производить всю продукцию сам (как он делал раньше), платит фиксированную ставку Работнику за каждую произведенную единицу продукции, кроме того издержки на производство продукции вычитаются у Работника из зарплаты. Работник максимизирует итоговую зарплату, которая составляет , где это количество произведенной продукции. Директор максимизирует функцию .
Найдите равновесные количества, прибыли фирм и зарплату работника, если известно, что Директор не может заставить Работника производить конкретное количество продукции - Работник сам решает, сколько произвести, когда видит ставку зарплаты.
( баллов)
Ответ
Построим кривую реакции Работника , для этого промаксимизируем его функцию полезности .
Это парабола с ветвями вниз по . Максимум в вершине . Или же .
Теперь построим кривую реакции Директора, который теперь выбирает .
. Максимум в вершине, .
Функция реакции фирмы "Не воин" осталась прежней, подставим функцию реакции фирмы «Один в поле» в функцию реакцию фирмы «Не воин»:
Решая это уравнение, получаем , следовательно, .
; .
в) В какой-то момент Работнику тоже надоело работать и он нанял Подмастерье, который работает на тех же условиях, на которых раньше работал Рабочий, то есть максимизирует функцию , где это зарплата, которую Работник назначает Подмастерью, Работник же теперь не несет издержек производства, но платит зарплату Подмастерью, поэтому теперь он максимизирует функцию .
Все взаимодействие происходит следующим образом:
. Директор назначает .
. Работник назначает .
. Подмастерье выбирает количество продукции, которое он произведет .
- Фирмы продают произведенную продукцию на рынке по цене .
Найдите равновесные количества и прибыли фирм, зарплаты Директора, Работника и Подмастерья ( ).
( баллов)
Ответ
Построим функцию реакции Подмастерья , для этого промаксимизируем его функцию полезности .
Парабола с ветвями вниз, следовательно, или же .
Построим функцию реакции Работника: .
Парабола с ветвями вниз — максимум в вершине . Или же .
Теперь функцию прибыли фирмы можно записать как
.
Парабола с ветвями вниз— максимум в вершине .
Подставим это в кривую реакции второй фирмы:
.
Решая это уравнение, получаем , следовательно:
, , , , .