Задача 4. РЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)
Фирма «Один в поле» соперничает с фирмой «Не воин» по Курно. Обратная функция спроса на рынке имеет вид P=2588-Q_1-Q_2. Известно, что функция издержек каждой из фирм имеет вид TC_i(Q_i)=Q_i^2.
а) Найдите равновесные количества и прибыли фирм.
( 5 баллов)
Построим кривые реакции фирм:
\pi_1(Q_1) = Q_1(3589 - Q_1 - Q_2) - Q_1^2 \to \max
Это парабола ветвями вниз по Q_1 — максимум в вершине Q_1=\frac{3588-Q_2}{4}.
Кривая реакции второй фирмы аналогична.
Пересекая кривые реакции, получаем Q_1=Q_2=2588/4=897.
\pi_1=\pi_2=2*897^2=1 \ 609 \ 218.
б) Директор фирмы «Один в поле» решил отойти от дел и нанял Работника, который производит продукцию за него. Теперь Директор вместо того, чтобы производить всю продукцию сам (как он делал раньше), платит фиксированную ставку w Работнику за каждую произведенную единицу продукции, кроме того издержки на производство продукции вычитаются у Работника из зарплаты. Работник максимизирует итоговую зарплату, которая составляет S_w=w_w*Q_1-Q_1^2, где Q_1 это количество произведенной продукции. Директор максимизирует функцию S_d=Q_1*P-w*Q_1.
Найдите равновесные количества, прибыли фирм и зарплату работника, если известно, что Директор не может заставить Работника производить конкретное количество продукции - Работник сам решает, сколько произвести, когда видит ставку зарплаты.
( 10 баллов)
Построим кривую реакции Работника Q_1(w_w), для этого промаксимизируем его функцию полезности S_w=w_w-Q_1-Q_1^2\to \max.
Это парабола с ветвями вниз по Q_1. Максимум в вершине Q_1(w_w)=w_w/2. Или же w_w(Q_1)=2Q_1.
Теперь построим кривую реакции Директора, который теперь выбирает w_w.
\pi_1(Q_1)=(2588-Q_1-Q_2)Q_1-2Q_1^2. Максимум в вершине, Q_1=\frac{2588-Q_2}{6}.
Функция реакции фирмы "Не воин" осталась прежней, подставим функцию реакции фирмы «Один в поле» в функцию реакцию фирмы «Не воин»:
Q_2 = \frac{3588 - \frac{3588 - Q_2}{6}}{4}
Решая это уравнение, получаем Q_2=780, следовательно, Q_1=468; \ w_w=936.
\pi_2=2*780^2=1 \ 216 \ 800 ; \pi_1=2*468^2=438 \ 048.
в) В какой-то момент Работнику тоже надоело работать и он нанял Подмастерье, который работает на тех же условиях, на которых раньше работал Рабочий, то есть максимизирует функцию S_a=w_a*Q_1-Q_1^2, где w_a это зарплата, которую Работник назначает Подмастерью, Работник же теперь не несет издержек производства, но платит зарплату Подмастерью, поэтому теперь он максимизирует функцию S_w=w_w*Q_1-w_a*Q_1.
Все взаимодействие происходит следующим образом:
1. Директор назначает w.
2. Работник назначает w_a.
3. Подмастерье выбирает количество продукции, которое он произведет Q_1.
4. Фирмы продают произведенную продукцию на рынке по цене P=3588-Q_1-Q_2.
Найдите равновесные количества и прибыли фирм, зарплаты Директора, Работника и Подмастерья (S_d, \ S_w, \ S_a ).
( 15 баллов)
Построим функцию реакции Подмастерья Q_1(w_a), для этого промаксимизируем его функцию полезности S_a=w_a*Q_1-Q_1^2 \to \max.
Парабола с ветвями вниз, следовательно, Q_1(w_a)=w_a/2 или же w_a(Q_1)=2Q_1.
Построим функцию реакции Работника: S_w=w_w*Q_1-w_a*Q_1=0,5w_w*w_a-0,5w_a^2 \to \max.
Парабола с ветвями вниз — максимум в вершине w_a(w_w)=w_w/2. Или же w_w(Q_1)=4Q_1.
Теперь функцию прибыли фирмы можно записать как
\pi_1=(2588-Q_1-Q_2)Q_1-w_w*Q_1=(2588-Q_1-Q_2)Q_1-4Q_1^2.
Парабола с ветвями вниз— максимум в вершине Q_1=\frac{3588-Q_2}{10}.
Подставим это в кривую реакции второй фирмы:
Q_2 = \frac{3588 - \frac{3588 - Q_2}{10}}{4}.
Решая это уравнение, получаем Q_2=828, следовательно:
Q_1=276, \ w_w=138, \ w_a=69, \ \pi_1=2*828^2=1 \ 371 \ 168, \ \pi_2=2*276^2=152 \ 352, \ S_w=138^2=19 \ 044, \ S_a=69^2=4 \ 761.