а) ( 10 баллов) Найдем рыночную функцию предложения труда. При зарплате ниже 5 не готов работать никто, при зарплате от 5 до 10 — только мигранты. При зарплате больше 10 объем предложения труда равен 12+(w-10)=w+2. Обратная функция рыночного предложения труда имеет вид

w_s(L) = \begin{cases} 5, & 0 < L \leq 12; \\ L - 2, & L > 12. \end{cases}

Таким образом, функция прибыли имеет вид

\pi(L) = (20 - w_s(L))L = \begin{cases} 15L, & 0 < L \leq 12; \\ 22L - L^2, & L > 12. \end{cases}

Очевидно, что при L\leq 12 функция прибыли возрастает. Вершиной параболы 22L-L^2 (ветви направлены вниз) является L=11. Получаем, что эта функция убывает при L>11, а значит, и при всех L>12. Таким образом, функция прибыли возрастает при L\leq 12 и убывает при L>12.

Следует обратить внимание, что функция прибыли терпит разрыв при L=12, поэтому из того, что функция прибыли возрастает при L\leq 12 и убывает при L>12, еще не следует, что оптимальным является L=12. Однако легко увидеть (и это очевидно из экономических соображений), что значение функции прибыли при переходе через L=12 "прыгает" вниз, а не вверх, и потому точка максимума существует и равна 12.

Следовательно, оптимальным является L=12, фирма наймет только мигрантов и будет платить им зарплату w=5.

б) ( 6 баллов) Обозначим количество нанятых местных работников за L_1, а мигрантов за L_2. Фирма максимизирует прибыль (20-5)L_2+(20-L_1-10)L_1 при условии L_2\leq 12. Эта функция равна сумме двух слагаемых, каждое из которых зависит от разных независимых переменных, и поэтому слагаемые можно максимизировать по отдельности. Первая часть представляет собой возрастающую линейную функцию, вторая — квадратичная функция, график которой представлен параболой, ветви которой направлены вниз. Отсюда получаем, что L_1=5, L_2=12. Зарплата местных работников будет равна L_1+10=15, а мигрантов — 5.

в) ( 4 балла) Положение мигрантов не изменится, поскольку их заработная плата и количество нанятых не меняется. Местным работникам станет строго лучше, так как, в отличие от предыдущего пункта, местные работники оказываются нанятыми и четверо из них получают большую заработную плату, чем та минимальная зарплата, за которую они готовы были работать. Прибыль фирмы тоже строго выросла в пункте б) по сравнению с пунктом а): она была равна (20-5)*12, а стала равна (20-5)*12+(20-5-10)*5. Таким образом, в данном случае возможность дискриминировать разных работников по зарплате приводит к тому, что никому не становится хуже, а кому-то (местным работникам и фирме) становится строго лучше.

Примечание:

Примечание 1 : то, что фирме не может стать хуже в пункте б) по сравнению с пунктом а), очевидно и без расчетов, так как в пункте б) она всегда может принять то же решение, что и в пункте а).

Примечание 2 : изменение, при котором никому не становится хуже, и хотя бы кому-то становится строго лучше, экономисты называют Парето-улучшением. Этот пример показывает, что отмена запрета на дискриминацию может в некоторых случаях (хотя, конечно, далеко не всегда) приводить к Парето-улучшению.