\text{Монополист максимизирует } TR(Q) - TC(Q) \text{ или, эквивалентно, максимизирует площадь под графиком функции }

f(x) = MR(x) - MC(x) \text{ при } x \text{ от 0 до } Q. \text{Двигаясь по оси } Q \text{ слева направо, он сравнивает }

\text{ дополнительные выгоды (площадь под кривой MR) и дополнительные издержки (площадь под кривой MC) и так находит свой оптимум } Q_m. \text{Вспомним также, что кривая предложения конкурентной отрасли совпадает с кривой предельных издержек монополиста, } \text{образованного объединением всех производителей отрасли.} \text{Барыга максимизирует функцию } (P_{high}(Q) - P_{low}(Q)) \cdot Q = (P_{high}(Q) - MC(Q)) \cdot Q = TR(Q) - MC(Q), \text{ что } \text{эквивалентно максимизации прибыли с тем спросом, что и у нашего монополиста, но с общими издержками, равными } \text{ } MC(Q) \cdot Q, \text{где } MC(Q) \text{ - предельные издержки нашего монополиста. Соответственно, когда мы ищем оптимум Барыги, } \text{вместо } MC(Q) \text{ мы рисуем } (MC'(Q) \cdot Q)' = MC'(Q)Q + MC'(Q). \text{ По условию } MC'(Q) > 0 \text{ при любом } Q > 0, \text{ поэтому } Q_2 > Q_1 \text{ приводит к большему росту издержек у Барыги, чем у монополиста. Иными словами, переход из точки } Q_1 \text{ в точку } Q_2 \text{ приводит к большему росту издержек у Барыги, чем у монополиста. Иными словами, переход из точки } Q_1 \text{ в точку } Q_2 \text{ приводит к большему росту издержек у Барыги, чем у монополиста. Иными словами, переход из точки } Q_1 \text{ в точку } \text{Теперь найдём то, что сравнивает наш монополист. Предположим сначала, что } Q_b = Q_m. \text{ Как минимум один такой случай } \text{имеется: когда оптимум равен нулю. Например, если в любой точке предельные издержки больше спроса. Записываем этот случай } \text{(например, если в любой точке предельные издержки больше спроса). Записываем этот случай } \text{(} Q_b = Q_m = 0 \text{) в ответ.} \text{Теперь пусть } Q_b = Q_m > 0. \text{ Тогда мы можем воспользоваться необходимым условием экстремума: производная } \text{максимизируемой функции равна нулю. Для монополиста это означает } MR(Q_m) = MC(Q_m); \text{ для Барыги:} MR(Q_b) = MC'(Q_b)Q_b + MC(Q_b). \text{ По условию } MC'(Q) > 0 \text{ для любого } Q, \text{ поэтому случай } Q_b = Q_m > 0 \text{ невозможен.} \text{Предположим, что } Q_b > Q_m. \text{Рассмотрим переход из точки } Q_m \text{ в точку } Q_b. \text{ Прибыль Барыги при таком переходе } \text{вырастет, т.к. } Q_b \text{ - оптимум Барыги, а } Q_m \text{ - нет. Но тогда при этом переходе прибыль монополиста вырастет и подавно: } \text{прирост выручки у них одинаковый, а прирост издержек у монополиста меньше, как было доказано ранее. Следовательно, } Q_m \text{ не является оптимумом монополиста, что противоречит условию. Таким образом, } Q_b > Q_m.

\textbf{Ответ:} \text{Если хотя бы один из оптимумов не равен нулю, то } Q_b > Q_m.

\textbf{Примечание:} \text{Если заменить требование } MC'(Q) > 0 \text{ более слабым требованием строгого возрастания } MC, \text{ то возможны случаи, когда } Q_b = Q_m > 0. \text{ Постройте такой пример сами.}