Мир инвестиций. Олимпиада Колокольникова 2 тур 2025 (7-8 класс)
Студент Иннокентий решил начать инвестировать свои деньги. Его первоначальный капитал составляет 100 тыс. рублей. На бирже ему предложили два варианта: акция А A с ожидаемой доходностью 20\% и волатильностью 10\% стоимостью 1 тыс. рублей и акция Б с ожидаемой доходностью 25\% и волатильностью 15\% стоимостью 2 тыс. рублей. Можно покупать любое количество акций каждого вида (даже нецелое), но нельзя потратить больше своего бюджета.
Примечание: Волатильность показывает как сильно может измениться доходность. Обычно волатильность обозначается буквой \sigma (сигма). Инвесторы не любят волатильные акции и при прочих равных выбирают с меньшей волатильностью. Если положить долю a всех денег в актив с волатильностью \sigma_1 и долю 1-a в актив с волатильностью \sigma_2 то волатильность такого портфеля будет равна a\sigma_1+(1-a)\sigma_2. Аналогично для большего числа активов.
а) ( 2 балла) Как Иннокентию следует распорядиться своими деньгами, если он только максимизирует ожидаемую доходность? А если только минимизирует волатильность?
Если Иннокентий максимизирует только ожидаемую доходность, то ему следует выбрать акцию, у которой этот показатель будет наибольшим. Тогда он выберет акцию Б, так как ее ожидаемая доходность на 5 п.п. больше, чем у акции А ( 25\% против 20\% ) Если Иннокентий минимизирует только волатильность, то ему следует выбрать акцию, у которой этот показатель будет наименьшим. Тогда он выберет акцию А, так как ее волатильность на 5 п.п. меньше, чем у акции Б ( 10\% против 15\% )
Ответ: Если Иннокентий максимизирует только ожидаемую доходность, то ему следует выбрать акцию Б. Если Иннокентий минимизирует только волатильность, то ему следует выбрать акцию А.
б) ( 3 балла) Иннокентий в университете прочитал учебник по финансам и увидел там замечательный финансовый показатель Sharpe Ratio:
\text{Sharpe Ratio} = \frac{\text{ожидаемая доходность} - \text{процентная ставка безрискового актива}}{\text{волатильность}}
В стране, где живет Иннокентий, процентная ставка безрискового актива известна и равна 5\%. У какой акции Sharpe Ratio больше? Объясните, почему максимизация Sharpe Ratio согласуется с предпочтениями инвестора.
Рассчитаем показатель Sharpe Ratio для каждой акции.
\text{A: Sharpe Ratio} = \frac{20\% - 5\%}{10\%} = 1{,}5 \\ \text{B: Sharpe Ratio} = \frac{25\% - 5\%}{15\%} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33
Следовательно, Sharpe Ratio больше у акции А. Максимизация Sharpe Ratio своего портфеля может быть выгодной стратегией, так как по сути этот показатель учитывает дополнительную доходность за вложение в рисковый актив (ожидаемая доходность - процентная ставка безрискового актива), деленную на риск (волатильность). Нетрудно заметить, что если ожидаемая доходность меньше процентной ставки безрискового актива, то в этот актив не стоит вкладываться при любой волатильности, а выгоднее вложиться в безрисковый актив. Также повышение волатильности делает актив менее привлекательным.
в) ( 2 балла) В какой пропорции Иннокентий будет покупать акции, чтобы максимизировать Sharpe Ratio своего портфеля (набора бумаг)?
Например, если он купит бумаги, потратив поровну денег на каждую, то его
\text{Sharpe Ratio} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}25 + 0{,}5 \cdot 0{,}20 - 0{,}05}{0{,}5 \cdot 0{,}15 + 0{,}5 \cdot 0{,}10} = 1{,}4
Пусть долю x от своих сбережений Иннокентий тратит на акции А и долю (1-x) на акции Б. Тогда Sharpe Ratio его портфеля можно выразить через x.
\text{Sharpe Ratio} = \frac{0{,}2x + (1 - x) \cdot 0{,}25 - 0{,}05}{0{,}1x + 0{,}15 \cdot (1 - x)} = \frac{0{,}2 - 0{,}05x}{0{,}15 - 0{,}05x} = 1 + \frac{0{,}05}{0{,}15 - 0{,}05x}
Заметим, что при x от 0 до 1 функция возрастает по x. Значит, максимальный Sharpe Ratio портфеля будет, если вложить все деньги в акцию А.
Ответ: Максимальный Sharpe Ratio портфеля будет, если вложить все деньги в акцию А.
г) ( 3 балла) На бирже появляется третья акция В с ожидаемой доходностью 15\% и волатильностью 5\% стоимостью 500 рублей. Как в этом случае следует распорядиться финансами, если Иннокентий по-прежнему максимизирует Sharpe Ratio портфеля?
Пусть долю x от своих сбережений Иннокентий тратит на акции А, долю y на акции Б и долю (1-x-y) на акции В. Тогда Sharpe Ratio его портфеля можно выразить через x и y.
\text{Sharpe Ratio} = \frac{0{,}2x + 0{,}25y + 0{,}15 \cdot (1 - x - y) - 0{,}05}{0{,}1x + 0{,}15y + 0{,}05(1 - x - y)}=\frac{0{,}05x + 0{,}1y + 0{,}1}{0{,}05x + 0{,}1y + 0{,}05} = 1 + \frac{0{,}05}{0{,}05x + 0{,}1y + 0{,}05}
Следовательно, чтобы Sharpe Ratio портфеля был максимальным, x и y должны быть равны 0. То есть все деньги необходимо вложить в акцию В.
Ответ: Максимальный Sharpe Ratio портфеля будет, если вложить все деньги в акцию В.
д) ( 2 балла) Как изменились бы ответы на пункты в) и г), если бы Иннокентий обладал не 100 тыс. рублей, а 1 млн. рублей? А если 10 млн. рублей?
Неважно, сколько денег у Иннокентия, ведь его доход никак не учитывается при подсчете Sharpe Ratio. Максимизируется относительная "доходность" портфеля, а не абсолютная.