Задача 4 ОЧ-2015 (10 класс)
Г-н Комиссаренко решил преумножить свое богатство, положив миллиона рублей в банк. Он выбирает между банками «Анжела» и «Виктория», годовые ставки по депозитам в которых составляют и соответственно. Однако с точки зрения рейтинговых агентств эти банки имеют разные категории надежности – и . Банк «Анжела» имеет категорию , банк «Виктория» – категорию . Банки категории никогда не нарушают свои обязательства перед вкладчиками. Для банков категории статистика хуже: в среднем ежегодно из таких банков прекращают платежи. Считайте, что неплатежеспособность банка может выявиться только по итогам первого квартала года, и к этому моменту вкладчик еще не получит никаких процентов, которые ему причитаются, так что в этом случае от его вклада не останется вообще ничего.
1. Рассчитайте ожидаемую сумму, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:
a. Вложив деньги в банк «Анжела»;
b. Вложив деньги в банк «Виктория»;
c. Поровну разделив деньги между банками.
2. На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – , а категория надежности – , означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью .
Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при условии, что он должен положить деньги в один банк?
3. Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает сумму вклада в пределах миллиона рублей и никаких процентов. А сумма вклада свыше млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше млн. руб.).
a. Куда при этих новых обстоятельствах, при прочих равных условиях, г-н Комиссаренко будет вкладывать свои миллиона рублей?
b. Привело ли введение государственной гарантии по банковским вкладам к перетоку вкладов из менее надежных, с точки зрения рейтинговых агентств, банков в более надежные?
Под ожидаемой суммой следует понимать математическое ожидание.
Справка
Пусть распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице:
Математическим ожиданием случайной величины называют число:
.
Пример. Предположим, вам предлагают сыграть в лотерею, где с вероятностью вы выиграете рублей, с вероятностью вы выиграете рублей, и с вероятностью выиграете рублей. Тогда математическое ожидание денежного выигрыша в этой лотерее равно: рублей.
Ответ
Пункт 1.
Рассчитайте ожидаемую сумму, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:
Вложив деньги в банк «Анжела»; , где −сумма вклада
При млн. получаем:
Вложив деньги в банк «Виктория»;
При млн. получаем:
– вероятность дефолта
– не дефолт
Поровну разделив деньги между банками.
Самый простой способ расчета состоит в получении среднего арифметического от ожидаемой суммы в двух банках:
Таким образом, наиболее выгодно для вкладчика положить все деньги в банк .
Пункт 2.
На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – , а категория надежности – , означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью и средства вкладчика в течение года не будут ему возвращены. Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при прочих равных условиях?
При млн. получаем:
Положив деньги в банк , г-н Комиссаренко с вероятностью получит млн. руб., и с вероятностью – руб, ожидаемая сумма составит млн. руб. Так как ожидаемая сумма и в банке , и в банке выше, чем в банке , то появление банка не повлияет на выбор вкладчика.
Пункт 3.
Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает только сумму вклада в пределах миллиона рублей. А сумма вклада свыше млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше млн. руб.).
Как эти новые обстоятельства могут повлиять, при прочих равных условиях, на решение г-на Комиссаренко?
Ожидаемые суммы в банках и при введении государственной гарантии по вкладам увеличились, а в банке – нет. Следовательно, привлекательность банков и в глазах г-на Комиссаренко по сравнению с банком повысилась. Это может побудить г-на Комиссаренко к переводу денег из банка в банки и .
Таким образом введение государственного страхования вкладов привело к тому, что депозиты стали перетекать в более рискованные банки. Следовательно, государственная гарантия по банковским вкладам поощряет переток депозитов в более рискованные банки.
2 млн. в А: 1,05*2=2,1
Таким образом, г-ну Комиссаренко выгоднее положить млн. рублей в банк «Виктория» и млн. руб. в банк «Светлана». Если необходимо разместить вклад целиком в одном банке, то предпочтение отдается банку «Виктория».