Задача 5 ОЧ-2018 10 класс
Города A и B соединяет прямая дорога длиной 10 км. Вдоль всей дороги в двух шагах от нее находятся залежи алмазов, которым нет числа. Алмазы находятся глубоко под землей, и обычные жители городов их не добывают. Спрос на алмазы в каждом городе задается функцией Q_d=250-2P, где Q - кол-во штук (не обязательно целое), P - цена в гривнах (не обязательно целое число).
Чтобы разбогатеть, авантюристы - копатель и два караванщика - отправляются в поход за алмазами, добыча которых - нелегкое занятие, и каждый добытый алмаз (1 шт.) обходится в 25 гривен. Копатель может выбрать любое место вдоль дороги для лагеря, где он будет добывать алмазы. Алмазы передаются караванщикам, и те честно везут их в города для продажи, каждый караванщик везет алмазы в свой город. Однако, чтобы отправить один алмаз из лагеря в город, в котором караванщик его продаст, необходимо потратить s^2 гривен, где s - расстояние до города в км (не обязательно целое). Копатель и два караванщика максимизируют суммарную прибыль.
а) Какое место выберет копатель для лагеря, какую максимальную прибыль получит команда, сколько алмазов будет отправлено из лагеря? Сколько алмазов будет продано в каждом городе, если издержки связаны только с добычей и транспортировкой? Считайте, что караванщики могут назначать разные цены в городах.
б) В городе B появились разбойники. Пусть они узнали, где копатель собирается разбить лагерь, и хотят ограбить караванщика. Разбойники выбирают ближайшее место для засады, причем доля алмазов, которая достанется им от грабежа описывается функцией \min\left\{\frac{S_1}{5}, \frac{S_2}{5}\right\}, где S_1 - расстояние от засады до лагеря, S_2 - расстояние от засады до ближайшего города. Копатель ничего не знает о разбойниках. Какое место выберут разбойники для засады? Ответьте на вопросы предыдущего пункта. Считайте, что украденные алмазы также учитываются в издержках на перевозку.
в) Пусть копатель тайно узнал, где разбойники собираются устроить засаду. При этом он уже договорился, сколько алмазов передаст каждому караванщику в лагере (как в пункте а)), и не может это изменить. Однако он может изменить место, где будет разбит лагерь. (Если он решит, например, разбить его ближе к месту засады разбойников, то разбойникам может достаться меньше алмазов, чем раньше). Ответьте на вопросы первого пункта.
а) Пусть q_1 - количество алмазов, отправленных в A, q_2 - в город B. Тогда:
PR(q_1, q_2) = \left[(125 - 0{,}5q_1)q_1 - 25q_1 - s^2q_1\right] + \left[(125 - 0{,}5q_2)q_2 - 25q_2 - (10 - s)^2q_2\right]
Данная функция - сумма двух независимых друг от друга парабол, каждую из которых можно максимизировать отдельно.
Проделав это, получим: q_1^*=100-s^2, q_2^*=100-(10-s)^2. Подставив данные соотношения обратно в функцию прибыли, получим зависимость максимальной прибыли от расположения лагеря: PR(s) = 0{,}5(100 - s^2)^2 + 0{,}5(100 - (10 - s)^2)^2
Максимум этой функции совпадает с максимумом функции -200s^2+s^4-200(10-s)^2+(10-s)^4 (достаточно раскрыть скобки и избавиться от констант).
Проведем замену t=s-5, раскроем скобки. При этом если s\in[0;10], то t\in[-5;5] :2t^4 - 100t^2 - 8750 \to \max_t
Или же: f(a)=a^2-50a \to \max_a,
где a\in[0; 25]. Это парабола, ветви вверх, следовательно максимум в одном из концов отрезка: при a=0. Следовательно t=0, а значит s=5. Итого, лагерь будет разбит ровно на середине дороги. Тогда q_1=q_2=75, PR^{max}=5625
б) Легко заметить, что максимальное количество награбленного для разбойников достигается ровно на середине между городом и лагерем. С этой точки зрения им безразлично, где встать: между городом A и лагерем или между городом B и лагерем. Но поскольку они выбирают ближайшее место к городу B, то они встанут в 2,5 км от города B. Суммарная прибыль авантюристов составит 3046,875.
в) Возможны три варианта нового расположения лагеря (s) :
1 случай. Новый лагерь находится ближе к городу A, чем старый (s\in[0;5])
2 случай. Новый лагерь находится ближе к разбойникам (s\in[5;7,5]). Заметим, что если s=7,5, то разбойникам ничего не достается.
3 случай. Новый лагерь находится за разбойниками ближе к городу B (s\in[7,5;10]).
1 случай. В A доедет 75 алмазов, в B доедет только половина, но в издержках мы будем учитывать 75. Выручка в таком случае постоянна, необходимо минимизировать суммарные издержки на перевозку: 75s^2 + 75(10 - s)^2 \to \min_s \implies s^* = 5
2 случай. В A доедет 75 алмазов, в B : 15s-37,5 (теперь разбойникам достается меньше, при s=7,5 все 75 алмазов доедут до B ). Поскольку выручка в A - константа, ее можно не учитывать, а значит:
-75s^2 - 75(10 - s)^2 + (15s - 37.5)(125 - 0.5(15s - 37.5)) \to \max_s \implies s^* = 7.5
Поскольку s=5 также входило в рассматриваемый промежуток, значит s^*=7,5 лучше.
3 случай является менее оптимальным как с точки зрения издержек, так и с точки зрения украденных алмазов. Двигаться дальше к городу B не выгодно.
Итого: s^*=7,5. Разбойникам ничего не достанется. В каждый город доедет 75 алмазов, а прибыль составит PR=4687,5.