Задача 5 ОЧ-2018 10 класс
Города и соединяет прямая дорога длиной км. Вдоль всей дороги в двух шагах от нее находятся залежи алмазов, которым нет числа. Алмазы находятся глубоко под землей, и обычные жители городов их не добывают. Спрос на алмазы в каждом городе задается функцией , где - кол-во штук (не обязательно целое), - цена в гривнах (не обязательно целое число).
Чтобы разбогатеть, авантюристы - копатель и два караванщика - отправляются в поход за алмазами, добыча которых - нелегкое занятие, и каждый добытый алмаз ( шт.) обходится в гривен. Копатель может выбрать любое место вдоль дороги для лагеря, где он будет добывать алмазы. Алмазы передаются караванщикам, и те честно везут их в города для продажи, каждый караванщик везет алмазы в свой город. Однако, чтобы отправить один алмаз из лагеря в город, в котором караванщик его продаст, необходимо потратить гривен, где - расстояние до города в км (не обязательно целое). Копатель и два караванщика максимизируют суммарную прибыль.
а) Какое место выберет копатель для лагеря, какую максимальную прибыль получит команда, сколько алмазов будет отправлено из лагеря? Сколько алмазов будет продано в каждом городе, если издержки связаны только с добычей и транспортировкой? Считайте, что караванщики могут назначать разные цены в городах.
б) В городе появились разбойники. Пусть они узнали, где копатель собирается разбить лагерь, и хотят ограбить караванщика. Разбойники выбирают ближайшее место для засады, причем доля алмазов, которая достанется им от грабежа описывается функцией , где - расстояние от засады до лагеря, - расстояние от засады до ближайшего города. Копатель ничего не знает о разбойниках. Какое место выберут разбойники для засады? Ответьте на вопросы предыдущего пункта. Считайте, что украденные алмазы также учитываются в издержках на перевозку.
в) Пусть копатель тайно узнал, где разбойники собираются устроить засаду. При этом он уже договорился, сколько алмазов передаст каждому караванщику в лагере (как в пункте а)), и не может это изменить. Однако он может изменить место, где будет разбит лагерь. (Если он решит, например, разбить его ближе к месту засады разбойников, то разбойникам может достаться меньше алмазов, чем раньше). Ответьте на вопросы первого пункта.
Ответ
а) Пусть - количество алмазов, отправленных в , - в город . Тогда:
Данная функция - сумма двух независимых друг от друга парабол, каждую из которых можно максимизировать отдельно.
Проделав это, получим: , . Подставив данные соотношения обратно в функцию прибыли, получим зависимость максимальной прибыли от расположения лагеря:
Максимум этой функции совпадает с максимумом функции (достаточно раскрыть скобки и избавиться от констант).
Проведем замену , раскроем скобки. При этом если , то :
Или же: ,
где . Это парабола, ветви вверх, следовательно максимум в одном из концов отрезка: при . Следовательно , а значит . Итого, лагерь будет разбит ровно на середине дороги. Тогда ,
б) Легко заметить, что максимальное количество награбленного для разбойников достигается ровно на середине между городом и лагерем. С этой точки зрения им безразлично, где встать: между городом и лагерем или между городом и лагерем. Но поскольку они выбирают ближайшее место к городу , то они встанут в км от города . Суммарная прибыль авантюристов составит .
в) Возможны три варианта нового расположения лагеря :
1 случай. Новый лагерь находится ближе к городу , чем старый
2 случай. Новый лагерь находится ближе к разбойникам . Заметим, что если , то разбойникам ничего не достается.
3 случай. Новый лагерь находится за разбойниками ближе к городу .
1 случай. В доедет алмазов, в доедет только половина, но в издержках мы будем учитывать . Выручка в таком случае постоянна, необходимо минимизировать суммарные издержки на перевозку:
2 случай. В доедет алмазов, в : (теперь разбойникам достается меньше, при все алмазов доедут до ). Поскольку выручка в - константа, ее можно не учитывать, а значит:
Поскольку также входило в рассматриваемый промежуток, значит лучше.
3 случай является менее оптимальным как с точки зрения издержек, так и с точки зрения украденных алмазов. Двигаться дальше к городу не выгодно.
Итого: . Разбойникам ничего не достанется. В каждый город доедет алмазов, а прибыль составит .