Консультанты

В пункте 1 приведено решение для произвольного Q, потому что это удобно для выводов пункта 2. Участник может решать первый пункт сразу для Q=25, баллы за это не снижаются, схема проверки написана для решения при Q=25. Решение для произвольного Q, выполненное в этом пункте, может принести баллы в пункте 2.

Пусть q1 - количество проектов, на которые фирма будет ставить неопытных консультантов вместе с опытными, а q2 - количество проектов, на которые фирма будет ставит только двух опытных консультантов, q1+q2=Q. Обозначим за l количество неопытных консультантов, за L –– количество опытных. Тогда l=3q1, L=q1+2q2. Затраты компании на услуги труда консультантов равны

Нужно минимизировать эту функцию при ограничениях l=3q1, L=q1+2q2, q1+q2=Q. Эту задачу можно свести к задаче минимизации по одной переменной. Поскольку переменных у нас четыре (q1, q2, l и L), это можно сделать четырьмя способами (на олимпиаде, конечно, достаточно представить один корректный способ решения).

Способ 1 (по q2).

Подставим выражения для l и L в целевую функцию:

Затем, подставляя q1=Q−q2, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по q2 на отрезке [0;Q]. Относительно q2 это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине , если . Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по q2 (C'=2q2−(60−2Q)) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем .

Способ 2 (по q1).

Подставим выражения для l и L в целевую функцию:

Затем, подставляя q2=Q−q1, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по q1 на отрезке [0;Q]. Относительно q1 это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине , если q*1 [0;Q]. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по q1 (C'=2q1+(60−4Q)) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем .

Окончание способов 1 и 2. Значит, на 5 проектов фирма отправит только опытных консультантов, а на 20 – группы из 1 опытного и 3 неопытных консультантов. Всего она наймет l=3q1=60 неопытных и L=q1+2q2=30 опытных консультантов.

Способ 3 (по l).

Выразим q1 и q2 через l и L. q1=l/3, и поэтому L=q1+2q2=l/3+2q2. Отсюда . Значит, ограничение q1+q2=Q принимает вид , то есть l/6+L/2=Q. Oтсюда L=2Q−l/3. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по l на отрезке [0;6Q]. Относительно l

это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине l*=6Q−90, если l* [0;6Q]. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по l

(C'=2l/9+(20−4Q/3)) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем l*=150−90=60 [0;6 25]. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 60 неопытных и опытных консультантов.

Способ 4 (по L). Аналогично способу 3, получаем, что l/6+L/2=Q. Отсюда l=6Q−3L. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по L на отрезке [0;2Q]. Относительно L

это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине L*=30, если L* [0;2Q]. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по L

(C'=2L−60) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем L*=30 [0;2 25]. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 30 опытных консультантов и неопытных консультантов. Будем руководствоваться ответами, полученными в предыдущем пункте для произвольного Q.

Если фирма не нанимает неопытных консультантов, то q1=0, q2=Q, l=0, L=2Q то есть q1 и l должны лежать на левой границе допустимого интервала, а q2 и L–– на правой.

Для этого вершина параболы, которую мы минимизировали в пункте 1, должна лежать или на соответствующей границе, или за ней (например, если получилось, что издержки минимизируются при q1=50 и q2=−10, а при этом Q=40, то нужно выбирать q1=Q=40

и q2=0).

В зависимости от способа решения пункта 1 (которое может быть в общем виде приведено в пункте 2, если пункт 1 решался для Q=25) это будет или правая (q2 Q, L 2Q), или левая (q1 0, l 0) граница найденного интервала. Решая соответствующее неравенство (q1=2Q−30 0 или q2=30−Q Q или l=6Q−90 0 или L=30 2Q), вo всех четырех случаях получаем Q 15.

Значит, фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее количество проектов не больше 15.

Примечание:

Более реалистичной является многопериодная модель, в которой неопытные работники со временем приобретают опыт, и у фирмы возникает выбор: нанимать опытных сотрудников со стороны или «выращивать» их у себя. Однако если опытные сотрудники, получившие опыт внутри фирмы и опытные работники со стороны в среднем (1) обладают одинаковой квалификацией и (2) требуют одинаковую заплату, то более сложная модель сводится к простой модели, рассмотренной в данной задаче.