Консультанты

В пункте 1 приведено решение для произвольного Q, потому что это удобно для выводов пункта 2. Участник может решать первый пункт сразу для Q=25, баллы за это не снижаются, схема проверки написана для решения при Q=25. Решение для произвольного Q, выполненное в этом пункте, может принести баллы в пункте 2.

Пусть q₁ - количество проектов, на которые фирма будет ставить неопытных консультантов вместе с опытными, а q₂ - количество проектов, на которые фирма будет ставит только двух опытных консультантов, q₁+q₂=Q. Обозначим за l количество неопытных консультантов, за L –– количество опытных. Тогда l=3q₁, L=q₁+2q₂. Затраты компании на услуги труда консультантов равны

C=100l+L\cdot (240+L)

Нужно минимизировать эту функцию при ограничениях l=3q₁, L=q₁+2q₂, q₁+q₂=Q. Эту задачу можно свести к задаче минимизации по одной переменной. Поскольку переменных у нас четыре (q₁, q₂, l и L), это можно сделать четырьмя способами (на олимпиаде, конечно, достаточно представить один корректный способ решения).

Способ 1 (по q₂).

Подставим выражения для l и L в целевую функцию:

 C=100l+L\cdot(240+L)=100 \cdot 3q_1+240(q_1+2q_2)+(q_1+2q_2)^2

Затем, подставляя q₁=Q−q₂, получаем

 C=540(Q−q_2)+480q_2+(Q+q_2)^2=q_2^2−(60−2Q)q_2+Q^2+540Q

Фирма минимизирует значение этого выражения по q₂ на отрезке [0;Q]. Относительно q₂ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине q^*_2=30−Q, если q^*_2 \in [0;Q]. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по q₂ (C'=2q²−(60−2Q)) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем q^*_2=30−25=5 \in [0;25].

Способ 2 (по q₁).

Подставим выражения для l и L в целевую функцию:

 C=100l+L \cdot (240+L)=100 \cdot 3q_1+240(q_1+2q_2)+(q_1+2q_2)^2

Затем, подставляя q₂=Q−q₁, получаем

 C=540q_1+480(Q−q_1)+(2Q−q_1)^2=q^2_1+(60−4Q)q_1+4Q^2+480Q

Фирма минимизирует значение этого выражения по q₁ на отрезке [0;Q]. Относительно q₁ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине q^*_1=2Q−30, если q*1\in [0;Q]. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по q₁ (C'=2q₁+(60−4Q)) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем q^*_1=50−30=20 \in [0;25].

Окончание способов 1 и 2. Значит, на 5 проектов фирма отправит только опытных консультантов, а на 20 – группы из 1 опытного и 3 неопытных консультантов. Всего она наймет l=3q₁=60 неопытных и L=q₁+2q₂=30 опытных консультантов.

Способ 3 (по l).

Выразим q₁ и q₂ через l и L. q₁=l/3, и поэтому L=q₁+2q₂=l/3+2q₂. Отсюда q_2= \frac{L−l/3}{2}. Значит, ограничение q₁+q₂=Q принимает вид  l/3+ \frac{L−l/3}{2}=Q, то есть l/6+L/2=Q. Oтсюда L=2Q−l/3. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

C = 100l + L \cdot (240 + L) = 100l + 480Q - 80l + (2Q - l/3)^2 = l^2/9 + (20 - 4Q/3)l + 480Q + 4Q^2

Фирма минимизирует значение этого выражения по l на отрезке [0;6Q]. Относительно l

это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине l*=6Q−90, если l* \in [0;6Q]. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по l

(C'=2l/9+(20−4Q/3)) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем l*=150−90=60\in [0;6\cdot 25]. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 60 неопытных и L*=2 \cdot 25−l*/3=30 опытных консультантов.

Способ 4 (по L). Аналогично способу 3, получаем, что l/6+L/2=Q. Отсюда6 \cdot 25−3 \cdot 30=60 l=6Q−3L. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

C = 100l + L \cdot (240 + L) = L^2 + 240L + 100(6Q - 3L) = L^2 - 60L + 600Q

Фирма минимизирует значение этого выражения по L на отрезке [0;2Q]. Относительно L

это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине L*=30, если L* [0;2Q]. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по L

(C'=2L−60) и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При Q=25 имеем L*=30\in [0;2\cdot 25]. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 30 опытных консультантов и неопытных консультантов. Будем руководствоваться ответами, полученными в предыдущем пункте для произвольного Q.

Если фирма не нанимает неопытных консультантов, то q₁=0, q₂=Q, l=0, L=2Q то есть q1 и l должны лежать на левой границе допустимого интервала, а q₂ и L–– на правой.

Для этого вершина параболы, которую мы минимизировали в пункте 1, должна лежать или на соответствующей границе, или за ней (например, если получилось, что издержки минимизируются при q₁=50 и q₂=−10, а при этом Q=40, то нужно выбирать q₁=Q=40

и q₂=0).

В зависимости от способа решения пункта 1 (которое может быть в общем виде приведено в пункте 2, если пункт 1 решался для Q=25) это будет или правая (q2\geq Q, L\geq 2Q), или левая (q₁\leq 0, l\leq 0) граница найденного интервала. Решая соответствующее неравенство (q₁=2Q−30\leq 0 или q₂=30−Q\geq Q или l=6Q−90\leq 0 или L=30\geq 2Q), вo всех четырех случаях получаем Q\leq 15.

Значит, фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее количество проектов не больше 15.

Примечание:

Более реалистичной является многопериодная модель, в которой неопытные работники со временем приобретают опыт, и у фирмы возникает выбор: нанимать опытных сотрудников со стороны или «выращивать» их у себя. Однако если опытные сотрудники, получившие опыт внутри фирмы и опытные работники со стороны в среднем (1) обладают одинаковой квалификацией и (2) требуют одинаковую заплату, то более сложная модель сводится к простой модели, рассмотренной в данной задаче.