Инвестиции с минимальным сожалением
Любой инвестор сталкивается с ситуацией, когда он жалеет о том, что вложил или не вложил деньги в определенный актив. Если стоимость актива растет, инвестор, не вложивший деньги в него, жалеет об этом; если же стоимость падает, сожалеют инвесторы, вложившие деньги. Будущее неопределенно, и поэтому полностью избежать сожаления не удастся. Разные портфели активов, однако, характеризуются разным потенциальным сожалением. В этой задаче вам предлагается найти для нескольких примеров портфелей активов, при которых потенциально возможное сожаление минимально.
Представим себе инвестора, имеющего 1 млн руб. и рассматривающего инвестиции в два актива: акции компании Alset, производящей электромобили, и компании Drof, производящей бензиновые автомобили. Цены на акции этих фирм обычно движутся в противоположном направлении. В зависимости от ситуации на энергетических рынках может реализоваться Сценарий 1, при котором растут акции Alset, или Сценарий 2, при котором растут акции Drof. Таблица возможных доходностей приведена справа. (Например, в Сценарии 1 цена акций Alset вырастает на 30 %.) В момент вложения средств инвестор не знает, какой сценарий реализуется.
Определим сожаление как разницу между максимальной прибылью при определенном сценарии и фактической прибылью. Например, если инвестор вложит в акции двух компаний по 0,5 млн руб. и реализуется Сценарий 1, инвестор получит прибыль в размере 0,3 \times 0,5 + (−0,2) \times 0,5 = 0,05 млн руб., в то время как максимальная прибыль при данном сценарии равна 0,3 \times 1 = 0,3 (все надо было вкладывать в Alset). Сожаление инвестора будет равно 0,3 − 0,05 = 0,25 млн руб. Если же реализуется Сценарий 2, инвестор получит прибыль (−0,1) \times 0,5 + 0,2 \times 0,5 = 0,05, а сожаление составит 0,2 − 0,05 = 0,15 млн руб. Максимальное возможное (по всем сценариям) сожаление инвестора при равном распределении средств будет равно max(0,25; 0,15) = 0,25 млн руб.
а) (4 балла) Допустим, инвестор вкладывает в акции всю сумму. Определите, какую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать максимальное возможное сожаление.
б) (3 балла) Инвестор по-прежнему вкладывает всю сумму, но теперь есть Сценарий 3, при котором происходит кризис и акции обеих компаний падают в цене:
Определите, какую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать максимальное возможное сожаление.
в) (5 баллов) Предположим, что в условиях пункта б) инвестор может не вкладывать часть денег в акции. Невложенные средства приносят доходность 0 % при любом сценарии. Определите, какие доли средств инвестору следует вложить в Alset и Drof, чтобы минимизировать максимальное возможное в будущем сожаление.
а) Пусть x — доля средств, вкладываемых в Alset. Если реализуется Сценарий 1, сожаление будет равно 0{,}3 - (0{,}3x - 0{,}2(1 - x)) = 0{,}5 - 0{,}5x . Если реализуется Сценарий 2, сожаление будет равно 0{,}2 - (-0{,}1x + 0{,}2(1 - x)) = 0{,}3x . Значит, максимальное сожаление равно
R_1(x) = \max\{0{,}5 - 0{,}5x, 0{,}3x\}.
0{,}5 - 0{,}5x = 0{,}3x при x = 5/8 , так что функцию сожаления можно переписать как
R_1(x) = \begin{cases} 0{,}5 - 0{,}5x, & x \leq 5/8, \\ 0{,}3x, & x \geq 5/8. \end{cases}
R_1(x) убывает при x < 5/8 и растет при x > 5/8 , значит, точкой минимума является x^* = 5/8 .
б) При третьем сценарии сожаление будет равно -0{,}2 - (-0{,}3x - 0{,}2(1 - x)) = 0{,}1x. Значит, максимальное сожаление равно
R_2(x) = \max\{0{,}5 - 0{,}5x, 0{,}3x; 0{,}1x\}.
Заметим, что при всех x, 0{,}3x > 0{,}1x (сожаление при втором сценарии больше, чем при третьем), так что R_2(x) = R_1(x) . Значит, оптимальное значение x то же, что и в пункте а, то есть x = 5/8 .
в) Пусть x и y — доли средств, вкладываемые в акции Alset и Drof соответственно, x + y \leq 1 , тогда 1 - x - y не вкладываются никуда. При первом сценарии сожаление будет равно 0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y , при втором — 0{,}2 - (-0{,}1x + 0{,}2y) , при третьем — 0 - (-0{,}3x - 0{,}2y) . Тогда максимальное сожаление равно
R(x, y) = \max\{0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y; 0{,}2 - (-0{,}1x + 0{,}2y); 0{,}3x + 0{,}2y\}.
Нам нужно минимизировать эту функцию по x, y при ограничениях x, y \geq 0, x + y \leq 1. Дальше двигаться можно несколькими способами.
Способ 1. (Догадка + обоснование)
По аналогии с пунктом а, предположим, что минимальное сожаление достигается тогда, когда сожаление одинаково при всех сценариях. Это происходит при x и y, удовлетворяющих равенствам:
0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y = 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y = 0{,}3x + 0{,}2y.
Решая эту систему, получаем x = 0{,}5, y = 0{,}25.
Сожаление при (x, y) = (0{,}5, 0{,}25) равно R 0{,}5, 0{,}25 = \max\{0{,}2; 0{,}2; 0{,}2 } = 0{,}2.
Докажем, что это действительно минимально возможное сожаление, то есть для всех x, y, x + y \leq 1, R(x, y) \geq 0{,}2.
Предположим противное. Тогда существуют некие x_0, y_0, такие что R(x_0, y_0) < 0{,}2. Тогда, поскольку R равно наибольшему из трёх сожалений, сожаление при каждом сценарии должно быть меньше 0,2. Но тогда:
\begin{aligned} 0{,}3 - 0{,}3x_0 + 0{,}2y_0 &< 0{,}2, \\ 0{,}2 + 0{,}1x_0 - 0{,}2y_0 &< 0{,}2, \\ 0{,}3x_0 + 0{,}2y_0 &< 0{,}2. \end{aligned}
Складывая первые два неравенства, получаем 0{,}5 - 0{,}2x_0 < 0{,}4, откуда x_0 > 0{,}5. Складывая вторые два неравенства, получаем 0{,}4x_0 < 0{,}2, откуда x_0 < 0{,}5. Противоречие. Значит, минимально возможное сожаление действительно равно 0{,}2 и достигается при x^* = 0{,}5, y^* = 0{,}25.
Способ 2. (Прямой анализ)
Обозначим за S множество всех возможных портфелей (x,y), то есть S = \{(x, y) : x, y \geq 0, x + y \leq 1\}. Это треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0).
Для каждого сценария i = 1, 2, 3 найдём такое подмножество множества портфелей S, что максимальное сожаление достигается при сценарии i. Обозначим эти подмножества жеста как S_i.
Тогда, удовлетворяя неравенствам, можем записать:
0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y < 0{,}2, \\ 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y < 0{,}2, \\ 0{,}3x + 0{,}2y < 0{,}2.
Общая граница S_1 и S_2 определяется равенством сожалений при сценариях 1 и 2, то есть равенством 0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y = 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y, что эквивалентно y = x - 0{,}25. Аналогичным образом получаем, что общая граница S_2 и S_3 описывается уравнением y = 0{,}5 - 0{,}5x ; общая граница S_1 и S_3 задается уравнением x = 0{,}5. Общая точка трех множеств A(0{,}5; 0{,}25) определяется равенством всех сожалений.
Тогда разобьем минимизацию R(x, y) на два этапа: 1) проминимизируем сожаление на каждом из множеств S_1,S_2,S_3, получим три оптимальные точки; 2) из трех полученных точек выберем ту, в которой сожаление наименьшее.
Этап 1.
На множестве S_1 максимальное сожаление равно 0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y. Будем минимизировать его графически. Для этого рассмотрим семейство "кривых безразличия", то есть линий, на которых сожаление одинаково. Они описываются уравнением:
0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y = R,
где R — константа, откуда y = 1{,}5x + C, где C — константа. Семейство этих линий изображено красным цветом на рис. 8.1 слева. Сожаление \(0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y\) возрастает по x и убывает по y, и значит, оно будет падать при движении вправо-вниз. Стрелка показывает направление убывания сожаления. Видно, что минимум достигается в точке A. (Здесь критически важно то, что наклон кривых безразличия меньше, чем наклон возрастающего участка границы множества S_1.
Аналогичным образом с помощью графического метода находим, что минимум сожаления на каждом из множеств S_2,S_3 достигается в точке A (см. рис. 8.1 в центре и справа). Ориентиры для нахождения можно найти на графиках рис. 8.1 для кривых безразличия и построения по наклонам, заданным формулами для разных множеств.
Этап 2. На первом этапе мы получили, что минимум на каждом из множеств S_i достигается в одной и той же точке — точке A. Значит, в точке A максимальное сожаление меньше, чем в любой другой точке "большого" треугольника S. Она и будет ответом.
Ответ: 50% в акции Alset и 25% в акции Drof.
Примечание: лабораторные исследования, проведенные экономистами и психологами, показывают, что зачастую в условиях неопределенности люди действительно не ведут себя так, чтобы максимизировать математическое ожидание полезности или прибыли, а чтобы минимизировать возможное сожаление. Минимизацией сожаления можно объяснить покупку людьми лотерейных билетов (их покупают, чтобы потом не жалеть о том, что не купили), чрезмерно высокие по сравнению с предсказаниями стандартной теории игр ставки в аукционах, и другие явления. Что же касается поведения инвесторов, то красноречивее всего о минимизации сожаления сказал Гарри Марковиц, Нобелевский лауреат по экономике 1990 года. Марковиц получил премию за создание теории оптимального портфеля, основанной на максимизации математического ожидания прибыли. Сам он при этом признавался, что в жизни не следовал своей теории, а минимизировал сожаление. Вот его слова:
"Надо было рассчитать историческую ковариацию классов активов и провести эффективную границу [это он о своей теории]. Вместо этого я представил себе свое горе, если бы фондовый рынок поднялся, а я в него не вложился, или если бы он опустился, а все мои накопления были бы в нем. Мои намерения было свести к минимуму мое будущее сожаление, поэтому я разделил свои сбережения 50/50 между облигациями и акциями".
(Впрочем, может быть, это было шуткой.)