Отдача и эффект
Производственная функция Q=F(L,K) характеризуется возрастающей отдачей от масштаба. Докажите наличие для совершенного конкурента на рынке факторов производства в долгосрочном периоде эффекта масштаба.
Несколько определений, от которых мы будем отталкиваться:
1. Возрастающая отдача от масштаба означает:
F(tL, tK) > t \cdot F(L, K) для любого t>1.
2. Долгосрочная функция издержек C(Q) определяется как минимальные затраты на производство выпуска Q при данных ценах факторов:
C(Q) = \min_{L,K} \left\{ wL + rK \;\middle|\; F(L,K) \ge Q \right\}.
3. Средние долгосрочные издержки:
AC(Q)=C(Q)/Q.
Эффект масштаба существует, если AC(Q) убывает с ростом Q.
Начнем рассуждения:
1. Пусть для некоторого выпуска Q_0>0 оптимальная комбинация факторов есть(L_0, K_0), так что:
F(L_0, K_0) = Q_0, \qquad C(Q_0) = wL_0 + rK_0.
2. Оценим издержки для большего выпуска Q_1=tQ_0, \ t>1.
Возьмём комбинацию факторов (tL_0, \ tK_0), тогда в силу возрастающей отдачи от масштаба:
F(tL_0, tK_0) > t \cdot F(L_0, K_0) = tQ_0 = Q_1.
Это означает, что комбинация (tQ_0, \ tK_0) позволяет произвести больше, чем Q_1. В этом случае стоимость комбинации (tL_0, tK_0) равна:
w \cdot (tL_0) + r \cdot (tK_0) = t \cdot (wL_0 + rK_0) = t \cdot C(Q_0).
Фактические (минимальные) издержки производства Q_1 не могут превышать стоимость любого способа произвести не меньше Q_1. Но чтобы произвести ровно Q_1, можно взять чуть меньше факторов, чем (tL_0, tK_0) (так как они дают избыток выпуска), следовательно:
C(Q_1) = C(tQ_0) < t \cdot C(Q_0).
Разделим неравенство C(tQ_0) < t \cdot C(Q_0 на tQ_0 и получим неравенство на средние издержки:
\frac{C(tQ_0)}{tQ_0} < \frac{C(Q_0)}{Q_0}.
Это означает:
AC(tQ_0) < AC(Q_0) для любого t>1.
Следовательно, средние долгосрочные издержки строго убывают при увеличении выпуска. Убывание AC(Q) с ростом Q и есть эффект масштаба. Таким образом, при наличии возрастающей отдачи от масштаба и совершенной конкуренции на рынках факторов производства в долгосрочном периоде у фирмы обязательно существует эффект масштаба.