Доход контракта 4 (из графика):

f_1(X_1)= \begin{cases} 0, & X_1 \le 150,\\[6pt] 2\,(X_1-150), & 150 < X_1 \le 250,\\[6pt] 2\,(350-X_1), & 250 < X_1 \le 300,\\[6pt] 100, & X_1 > 300. \end{cases}.

Hайдем, какой набор контрактов 5, \ 6, \ 7, \ 8 принесет такой же доход через год, что и контракт 4. Пусть купили a контрактов 5, \ b контрактов 6, \ c контрактов 7, \ d контрактов 8. Найдем такие a, \ b, \ c, \ d при которых при любых значениях X_1 доход от портфеля из контрактов 5, \ 6, \ 7, \ 8 будет равен доходам, приведенных на графике в условии задачи.

Запишем доходы от контрактов 5, \ 6, \ 7, \ 8 :

Доход от контракта 5 \ max(X_1-150,0), доход от контракта 6 \ max(X_1-250,0), доход от контракта 7 \ max(250-X_1, 0), доход от контракта 8 \ max(X_1-300,0).

f_2(X_1)= \begin{cases} c\,(250-X_1), & X_1 \le 150,\\[6pt] a\,(X_1-150)+c\,(250-X_1), & 150 < X_1 \le 250,\\[6pt] a\,(X_1-150)+b\,(X_1-250), & 250 < X_1 \le 300,\\[6pt] a\,(X_1-150)+b\,(X_1-250)+d\,(X_1-300), & X_1 > 300. \end{cases}

Так как при всех X_1 потоки через год должны быть равны (f_1(X_1)=f_2(X_1)), получаем:

\begin{cases} c(250-X_1)=0, & X_1\le 150,\\[6pt] a(X_1-150)+c(250-X_1)=2(X_1-150), & 150<X_1\le 250,\\[6pt] a(X_1-150)+b(X_1-250)=2(350-X_1), & 250<X_1\le 300,\\[6pt] a(X_1-150)+b(X_1-250)+d(X_1-300)=100, & X_1>300. \end{cases}.

Отсюда a=2, \ b=-4, \ c=0, \ d=2. При отсутствии арбитража цены таких активов должны быть равны. А значит, цена контракта 4 равна 80a+10b+190c/11+d=2*80-4*10+2*1=122.

Данное решение использует отрицательное количество одного из контрактов (короткие продажи), но можно обойтись и без них. Действительно, портфель, состоящий из контракта 4 и четырех контрактов 6, приносит всегда столько же, сколько портфель, состоящий из двух единиц контракта 5 и двух единиц контракта 8. Отсюда можно найти p_4.