Находим цены одних активов через цены других
На фондовом рынке торгуется акция компанииX, которая в ближайшие несколько лет не будет платить дивиденды. Цена акции в текущий момент равна X_0=220. Кроме того, торгуются безрисковые, бескупонные облигации со сроком погашения через год и номиналом 22. Доходность по ним равна 10\% годовых.
Цену акции через 1 год обозначим за X_1 (в текущий момент она неизвестна, и ваши ответы не могут от нее зависеть). Известно, что на рынке отсутствуют возможности для арбитража, откуда следует, что портфели активов, приносящие одинаковый поток доходов через год при каждом X_1, сегодня должны стоить одинаково. Для решения задачи записывайте, как будущий доход от того или иного контракта (возможно, отрицательный) зависит от X_1. Все цены контрактов, которые нужно найти в задаче, –– это цены в текущий момент.
а) ( 4 балла) Если инвестор A купит у инвестора B финансовый контракт 1, то он будет обязан купить у инвестора B одну акцию компании X через 1 год по цене 220. Найдите цену контракта 1.
Будем обозначать цену контракта i за p_i.
Контракт 1 принесет инвестору случайную величину X_1-220 через год. Рассмотрим два портфеля.
1. Портфель 1 состоит из 1 акции компании X. Поток доходов от этого портфеля через год равен X_1.
2. Портфель 2 состоит из контракта 1 и 10 облигаций. Поток доходов от этого портфеля равен (X_1-220)+10*22=X_1.
Таким образом, потоки доходов от этих двух портфелей совпадают. Значит, сегодня портфели должны стоить одинаково.
Стоимость портфеля 1 сегодня равна 220. Стоимость портфеля 2 равна p_1+10*22/(1+r)=p_1+200. Значит, 220=p_1+200, откуда p_1=20.
б) ( 4 балла) Контракт 2 дает своему владельцу право купить одну акцию компании X через 1 период по цене 220. Контракт 3 дает своему владельцу право продать одну акцию компании X через 1 год по цене 220. Найдите цену контракта 3, если цена контракта 2 в текущий момент равна 30. Подсказка: вам может помочь результат п. а).
Контракт 2 принесет через год max(X_1-220,0). Контракт 3 принесет max(220-X_1,0). Cнова рассмотрим два портфеля.
3. Портфель 3 состоит из контракта 2. Поток доходов от этого портфеля равен max(X_1-220,0).
4. Портфель 4 состоит из контракта 1 и контракта 3. Поток доходов от этого портфеля равен (X_1-220)+max(220-X_1,0)=max(X_1-220,0).
Таким образом, потоки доходов от этих двух портфелей совпадают. Значит, сегодня портфели должны стоить одинаково.
Стоимость портфеля 3 сегодня равна 30. Стоимость портфеля 2 равна p_1+p_3=20+p_3. Отсюда p_3=10.
в) ( 4 балла) Теперь рассмотрим экзотический контракт 4, доход от которого зависит от будущей цены акции X_1 так, как показано на графике:
Кроме того, известны цены других контрактов, которые дают право на покупку или продажу 1 акции компании X через год по определенным ценам:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Контракт} & \text{Дает право на:} & \text{По цене:} & \text{Цена контракта:} \\ \hline 5 & \text{покупку} & 150 & 80 \\ \hline 6 & \text{покупку} & 250 & 10 \\ \hline 7 & \text{продажу} & 250 & \dfrac{190}{11} \\ \hline 8 & \text{покупку} & 300 & 1 \\ \hline \end{array}
Найдите цену контракта 4.
Доход контракта 4 (из графика):
f_1(X_1)= \begin{cases} 0, & X_1 \le 150,\\[6pt] 2\,(X_1-150), & 150 < X_1 \le 250,\\[6pt] 2\,(350-X_1), & 250 < X_1 \le 300,\\[6pt] 100, & X_1 > 300. \end{cases}.
Hайдем, какой набор контрактов 5, \ 6, \ 7, \ 8 принесет такой же доход через год, что и контракт 4. Пусть купили a контрактов 5, \ b контрактов 6, \ c контрактов 7, \ d контрактов 8. Найдем такие a, \ b, \ c, \ d при которых при любых значениях X_1 доход от портфеля из контрактов 5, \ 6, \ 7, \ 8 будет равен доходам, приведенных на графике в условии задачи.
Запишем доходы от контрактов 5, \ 6, \ 7, \ 8 :
Доход от контракта 5 \ max(X_1-150,0), доход от контракта 6 \ max(X_1-250,0), доход от контракта 7 \ max(250-X_1, 0), доход от контракта 8 \ max(X_1-300,0).
f_2(X_1)= \begin{cases} c\,(250-X_1), & X_1 \le 150,\\[6pt] a\,(X_1-150)+c\,(250-X_1), & 150 < X_1 \le 250,\\[6pt] a\,(X_1-150)+b\,(X_1-250), & 250 < X_1 \le 300,\\[6pt] a\,(X_1-150)+b\,(X_1-250)+d\,(X_1-300), & X_1 > 300. \end{cases}
Так как при всех X_1 потоки через год должны быть равны (f_1(X_1)=f_2(X_1)), получаем:
\begin{cases} c(250-X_1)=0, & X_1\le 150,\\[6pt] a(X_1-150)+c(250-X_1)=2(X_1-150), & 150<X_1\le 250,\\[6pt] a(X_1-150)+b(X_1-250)=2(350-X_1), & 250<X_1\le 300,\\[6pt] a(X_1-150)+b(X_1-250)+d(X_1-300)=100, & X_1>300. \end{cases}.
Отсюда a=2, \ b=-4, \ c=0, \ d=2. При отсутствии арбитража цены таких активов должны быть равны. А значит, цена контракта 4 равна 80a+10b+190c/11+d=2*80-4*10+2*1=122.
Данное решение использует отрицательное количество одного из контрактов (короткие продажи), но можно обойтись и без них. Действительно, портфель, состоящий из контракта 4 и четырех контрактов 6, приносит всегда столько же, сколько портфель, состоящий из двух единиц контракта 5 и двух единиц контракта 8. Отсюда можно найти p_4.