Фирма продает товар двум группам потребителей, A и B. Доля людей в общей массе из первой группы - \alpha, второй - (1-\alpha). Полезность потребителей из группы A определяется следующим образом

U_a(q;T)=a+aq-0,5q^2-T,

где a\in(0;1) - это некоторый параметр, q - количество потребляемого товара, T - суммарная плата за товар. Полезность потребителей из группы B :

U_b(q,T)=q-0,5q^2-T

Для простоты скажем, что фирма обладает нулевыми предельными издержками и что \alpha=1/2

а) Для начала предположим, что фирма не умеет дискриминировать. Найдите цену и количество проданного товара для любого a\in(0;1). При каких значениях a монополист будет работать только с одной группой потребителей?

б) Теперь предположим, что фирма умеет различать потребителей по группам, найдите равновесие.

Пусть теперь монополист может предлагать два различных тарифа: (p_a, f_a) и (p_b, f_b). То есть потребитель из группы i должен будет заплатить фирме T_i=f_i+p_iq при покупке некоторого количества q.

в) Пусть фирма все еще наблюдает группы потребителей. Найдите оптимальные комплекты

г) Только для этого пункта предположим, что у фирмы появились предельные издержки равные c\in(0;a). Какие оптимальные комплекты будут теперь, если фирма все еще наблюдает группы потребителей.

В остальной части вопроса предположите, что монополист не может наблюдать за группой потребителей. Фирма рассматривает три стратегии ценообразования:

1. Предложите единый двухкомпонентный тариф, чтобы оба типа потребителей совершили покупку.

2. Предложите единый двухкомпонентный тариф, чтобы только одна группа совершила покупку.

3. Предложите два разных тарифа, по одному тарифу для каждой группы.

д) Для любого значения a\in(0;1) определите оптимальный набор в каждой из стратегий. Какая стратегия является лучшей при определенных значениях a\in(0;1) ?