Оптимизация госзаказа по добычи нефти :)
Экономист Лидия ответственна за реализацию гос. заказов, связанных с выкачкой нефти. Её задача - добыть необходимое количество нефти при минимальных затратах.
Игра устроена следующим образом:
-
государство решает, сколько нефти требуется.
-
Лидия решает, сколько скважин сверлить и сколько нефти добывать на каждой из них. Скажем, что полезность Лидии равна , если добыто суммарно меньше, чем и , если добыто хотя бы . Известно, что для открытия первой скважины, квази-постоянные издержки (это такие , которые, если и , если . Интуитивно, можно думать как про издержки на открытие чего-либо: если хочется производить , открывать не нужно и , а иначе нужно открывать и ) составят . Следующее место под скважину искать сложнее, и поэтому квази-постоянные издержки составят на открытие второй скважины. Искать место для третей скважины еще сложнее, поэтому квази-постоянные издержки составят , потом , затем , и т.д. Кроме этого, каждое последующее место хуже предыдущего, а поэтому на каждой следующей скважине выше. Так,
на первой скважине, для добычи единиц нефти, ,
на второй скважине, ,
на третей скважине, ,
...
на скважине номер , .
Скважин можно открывать любое число. Максимального не существует.
А. Лидия посчитала, что для данного , оптимально открывать скважин. Сколько единиц нефти Лидия будет добывать на каждой из скважин? А чему будут равны суммарные издержки на добычу ?
Б. Найдите все значения , при которых Лидии рационально открывать ровно две шахты.
В. Заметим, что каждую новую скважину все дороже и дороже открывать, а качество места все хуже и хуже. Найдите минимальное , такое что , оптимальное число скважин постоянно, то есть не меняется с ростом , или докажите, что такого не существует.