Максимум информации
Компания X хочет выйти на новый для себя рынок, на котором она будет монополистом. Менеджер компании знает, что обратная функция спроса имеет вид P=120-bQ, где P — цена за единицу продукции, Q — количество товара, а b — некоторый положительный параметр, которой ему неизвестен. Менеджер всегда выбирает выпуск, ориентируясь на свои ожидания \hat b относительно коэффициента b. Предельные и средние издержки производства равны c=20 д.е., постоянных издержек нет.
а) ( 6 баллов) Пусть менеджер решил, что неизвестный параметр в функции спроса равен 1 (\hat{b} = 1). Найдите количество товара, которое произведет компания в случае выхода на рынок при таком допущении. Вычислите прибыль, если реальная цена устанавливается в соответствии с истинной обратной функцией спроса P=120-bQ.
Прибыль компании можно записать в в виде \Pi=(120-bQ)*Q-20Q=(100-bQ)*Q.
График функции — парабола ветвями вниз относительно Q, максимум в вершине Q^*=50/b. Менеджер думает, что b=1, поэтому он выберет количество 50. Тогда цена установится на уровне P=120-50b. А прибыль в точке оптимума \Pi=(100-50b)*50=5000-2500b.
б) ( 7 баллов) Известно, что компания получила прибыль в размере 3750 д.е., когда менеджер ориентировался на значение параметра \hat b =1. Найдите, какую максимальную прибыль компания могла получить, если бы менеджер знал истинное значение b.
Из условия: \Pi=5000-2500b=3750=>b=0,5
Тогда количество, максимизирующие прибыль, равно Q^*=50/b=100. Тогда максимальная прибыль \Pi=(100-0,5*100)*100=5000.
в) ( 12 баллов) До выхода компании на рынок менеджер рассматривал возможность взять на работу стажёра, который помог бы узнать истинное значение параметра b. Известно, что за свои услуги стажёр хотел получить оплату в размере 250 д.е., при этом он был готов провести исследование, по результатам которого менеджер получил бы два значения параметра b:b_1 и b_2, одно из которых точно являлось бы истинным, причём |b_1-b_2|=1/8. На работу стажёра не взяли. Можно ли однозначно сказать, что компания проиграла от такого решения, не зная, на какой из двух параметров будет ориентироваться менеджер? Поясните свой ответ.
Считайте, что вам известно всё из пунктов а) и б), так как вы проводите оценку данного решения уже после получения компанией прибыли 3750 д.е.
Скажем, что предполагаемое менеджером значение параметра, b_0, а истинное значение b. Тогда менеджер максимизирует (120-b_0Q)*Q-20Q=(100-b_0Q)*Q. График функции — парабола ветвями вниз, максимум в верши Q^*=50/b_0. Цена установится на уровне P=120-50b/b_0. Тогда прибыль в точке оптимума
\Pi = \left(100 - \frac{50b}{b_0}\right)\frac{50}{b_0} = \frac{2500}{b_0}\left(2 - \frac{b}{b_0}\right).
Рассмотрим какие прибыли может получить компания в зависимости от различных результатов исследования.
(1) b_1=1/2, \ b_2=5/8.
\begin{array}{c|cc} & b_0 = \dfrac{1}{2} & b_0 = \dfrac{5}{8} \\ \hline b = \dfrac{1}{2} & 5000 & 4800 \end{array}
Заметим, что в этом случае неважно, какой выбор сделала компания b_0=1/2 или b_0=5/8 прибыль даже с учетом выплаты стажеру будет больше, чем в п а).
(2) b_1=1/2, \ b_2=3/8.
\begin{array}{c|cc} & b_0 = \dfrac{1}{2} & b_0 = \dfrac{3}{8} \\ \hline b = \dfrac{1}{2} & 5000 & \dfrac{40000}{9} \end{array}
В этом случае, если компания выбрала бы b_0=1/2 или b_0=3/8, прибыль даже с учетом выплаты стажеру будет больше, чем в п а).
Однозначный вывод о том, выиграла ли компания, сделать можно.