Задача про пиратов
Пират Джим производит джин и продает его днем в своем баре по цене 28 гульденов за пинту. Функция издержек Джима на производство джина задается уравнением TC(Q)=Q^2, где Q — произведенное количество джина в пинтах. А ночью Джим вместе со своим приятелем пиратом Роном выходит «на дело» в море, где и потребляет часть произведенного им чистого джина. Джим старается оставить на ночь как можно больше джина, поскольку за прибылью он не гонится, а гульдены ему нужны только для оплаты факторов производства.
В отличие от Джима пират Рон не любит чистый джин и готовит себе коктейль «Веселый Роджер» (на полпинты джина треть пинты рома), тратя на ингредиенты для его приготовления 220 гульденов, заработанные ночным разбоем. Джин пират Рон покупает в лавке Джима, а ром — в соседней лавке по 18 гульденов за пинту.
Сколько рома и сколько джина потребляют на двоих за ночь пират Рон и пират Джим?
Пусть q_s — количество джина, которое Джим производит для себя, а q_m — для продажи на рынок. Тогда Q = q_s + q_m, TC = (q_s + q_m)^2. Поскольку выручку он получает только от тех единиц продукции, которые проданы на рынок, TR = 28q_m. Так как всю прибыль он тратит на производство для себя, выполняется: 28q_m - (q_s + q_m)^2 = 0. При этом условии Джим максимизирует q_s :
28q_m = (q_s + q_m)^2
q_s + q_m = \sqrt{28q_m}
q_s = \sqrt{28q_m} - q_m
q_s' = \frac{\sqrt{28}}{2\sqrt{q_m}} - 1 = 0
Отсюда q_m = 7, q_s = \sqrt{28 \cdot 7} - 7 = 7 — Джим выпивает за вечер 7 пинт джина.
Одна порция коктейля, включающая полпинты джина и треть пинты рома, стоит Рону \frac{1}{2} \cdot 28 + \frac{1}{3} \cdot 18 = 20 гульденов. Значит, на свои 220 гульденов он сможет купить ингредиентов и приготовить 11 порций коктейля, то есть выпить \frac{11}{3} пинт рома и \frac{11}{2} пинт джина.
Ответ:
Пираты выпивают 12,5 пинт джина и 11/3 пинты рома.