Рыцари при дворе короля Артура (8 класс)
В замке короля Артура есть круглый стол, за которым рассаживаются рыцари, когда съезжаются на званый обед. Рыцари любят просторно расположиться за столом, но также не отказываются от общения в компании. Поэтому удовольствие, которое получает каждый рыцарь от посещения званого обеда, зависит от числа рыцарей, что сидят за столом, следующим образом:
где — это общее число всех рыцарей за столом, включая его самого. Рыцари съезжаются на обед, только если получают положительное удовольствие от его посещения. В свою очередь король Артур заботится обо всех своих гостях, и его удовольствие от званого обеда равно сумме удовольствий приглашенных рыцарей.
- Какое максимальное число рыцарей можно видеть за столом короля Артура?
- Какое количество приглашенных оптимально с точки зрения каждого рыцаря, который желает получить максимальное удовольствие от посещения званого обеда?
- Какое количество приглашенных оптимально с точки зрения короля Артура, который желает, чтобы суммарное удовольствие всех присутствующих на обеде было максимально?
- Сравните количество приглашенных рыцарей в Пунктах 2 и 3 и объясните, почему можно было бы предугадать результат этого сравнения, не проводя расчетов
Ответ
-
рыцарей, поскольку при удовольствие каждого приглашенного становится неположительной, а при значениях от до оно строго больше нуля.
-
или рыцарей. Функция достигает максимума в точке . Поскольку количество приглашенных должно быть целым числом, квадратичная функция принимает максимальные значения, когда рыцарей или .
-
рыцарей. Король Артур максимизирует функцию . Тогда простым перебором можно обнаружить, что максимум достигается при .
Замечание 1: Очевидно, что перебор нужно делать только среди
чисел
Действительно, когда за столом собираются или рыцарей, каждый их них получает максимальное удовольствие от посещения званого обеда. С точки зрения же короля Артура предпочтительнее, чем . При каждый из собравшихся получает нулевое удовольствие, что точно не может быть максимумом.
Замечание 2: Можно было бы рассмотреть разницу суммарного удовольствия от и от рыцарей, приглашенных на званый обед, и определить, когда она становится отрицательной:
Корень этого выражения, удовлетворяющий условию , принадлежит интервалу . Следовательно, при суммарное удовольствие всех приглашенных на званый обед максимально
- Пункте число рыцарей НЕ МЕНЬШЕ, чем в Пункте .
Причина в том, что если удовольствие каждого отдельного рыцаря максимально, то максимальное суммарное удовольствие не может быть меньше этого значения, а значит, и число рыцарей не может быть меньше.