1) 12 рыцарей, поскольку при n\geq 13 удовольствие каждого приглашенного становится неположительной, а при значениях от 1 до 12 оно строго больше нуля.

2) 6 или 7 рыцарей. Функция U(n) достигает максимума в точке n^*=6,5. Поскольку количество приглашенных должно быть целым числом, квадратичная функция принимает максимальные значения, когда рыцарей 6 или 7.

3) 9 рыцарей. Король Артур максимизирует функцию A(n)=n^2(13-n). Тогда простым перебором можно обнаружить, что максимум достигается при n^*=9.

Замечание 1: Очевидно, что перебор нужно делать только среди

чисел 7, 8, 9, 10, 11, 12:

U(7)=294, U(8)=320, U(9)=324

U(10)=300, U(11)=242, U(12)=144

Действительно, когда за столом собираются 6 или 7 рыцарей, каждый их них получает максимальное удовольствие от посещения званого обеда. С точки зрения же короля Артура n=7 предпочтительнее, чем n=6. При n=13 каждый из собравшихся получает нулевое удовольствие, что точно не может быть максимумом.

Замечание 2: Можно было бы рассмотреть разницу суммарного удовольствия от n+1 и от n рыцарей, приглашенных на званый обед, и определить, когда она становится отрицательной:

A(n+1)-A(n)=(n+1)^2(13-n-1)-n^2(13-n)=3n^2+23n+12

Корень этого выражения, удовлетворяющий условию n\geq0, принадлежит интервалу (8,9). Следовательно, при n=9 суммарное удовольствие всех приглашенных на званый обед максимально

4) Пункте 3 число рыцарей НЕ МЕНЬШЕ, чем в Пункте 2.

Причина в том, что если удовольствие каждого отдельного рыцаря максимально, то максимальное суммарное удовольствие не может быть меньше этого значения, а значит, и число рыцарей не может быть меньше.