Рыцари при дворе короля Артура (8 класс)
В замке короля Артура есть 1 круглый стол, за которым рассаживаются рыцари, когда съезжаются на званый обед. Рыцари любят просторно расположиться за столом, но также не отказываются от общения в компании. Поэтому удовольствие, которое получает каждый рыцарь от посещения званого обеда, зависит от числа рыцарей, что сидят за столом, следующим образом:
U(n)=n(13-n)
где n — это общее число всех рыцарей за столом, включая его самого. Рыцари съезжаются на обед, только если получают положительное удовольствие от его посещения. В свою очередь король Артур заботится обо всех своих гостях, и его удовольствие от званого обеда равно сумме удовольствий приглашенных рыцарей.
- Какое максимальное число рыцарей можно видеть за столом короля Артура?
- Какое количество приглашенных оптимально с точки зрения каждого рыцаря, который желает получить максимальное удовольствие от посещения званого обеда?
- Какое количество приглашенных оптимально с точки зрения короля Артура, который желает, чтобы суммарное удовольствие всех присутствующих на обеде было максимально?
- Сравните количество приглашенных рыцарей в Пунктах 2 и 3 и объясните, почему можно было бы предугадать результат этого сравнения, не проводя расчетов
1) 12 рыцарей, поскольку при n\geq 13 удовольствие каждого приглашенного становится неположительной, а при значениях от 1 до 12 оно строго больше нуля.
2) 6 или 7 рыцарей. Функция U(n) достигает максимума в точке n^*=6,5. Поскольку количество приглашенных должно быть целым числом, квадратичная функция принимает максимальные значения, когда рыцарей 6 или 7.
3) 9 рыцарей. Король Артур максимизирует функцию A(n)=n^2(13-n). Тогда простым перебором можно обнаружить, что максимум достигается при n^*=9.
Замечание 1: Очевидно, что перебор нужно делать только среди
чисел 7, 8, 9, 10, 11, 12:
U(7)=294, U(8)=320, U(9)=324
U(10)=300, U(11)=242, U(12)=144
Действительно, когда за столом собираются 6 или 7 рыцарей, каждый их них получает максимальное удовольствие от посещения званого обеда. С точки зрения же короля Артура n=7 предпочтительнее, чем n=6. При n=13 каждый из собравшихся получает нулевое удовольствие, что точно не может быть максимумом.
Замечание 2: Можно было бы рассмотреть разницу суммарного удовольствия от n+1 и от n рыцарей, приглашенных на званый обед, и определить, когда она становится отрицательной:
A(n+1)-A(n)=(n+1)^2(13-n-1)-n^2(13-n)=3n^2+23n+12
Корень этого выражения, удовлетворяющий условию n\geq0, принадлежит интервалу (8,9). Следовательно, при n=9 суммарное удовольствие всех приглашенных на званый обед максимально
4) Пункте 3 число рыцарей НЕ МЕНЬШЕ, чем в Пункте 2.
Причина в том, что если удовольствие каждого отдельного рыцаря максимально, то максимальное суммарное удовольствие не может быть меньше этого значения, а значит, и число рыцарей не может быть меньше.