S056
График функции спроса представляет собой часть окружности, центр которой находится где-то на горизонтальной оси левее начала координат. При Q_1=20 общая выручка продавцов равна 2400, при Q_2=50 общая выручка равна 4500.
При каком объеме выпуска достигается максимальная выручка?
При Q_1=20 \ P_1=120, при Q_2=50 \ P_2=90. Пусть окружность, описанная в условии, имеет радиус R и центр ее находится на расстоянии f от начала координат. Тогда указанная окружность имеет уравнение: P^2+(Q+f)^2=R^2. Исходные данные позволяют составить два уравнения: R^2=120^2+(20+f)^2=90^2+(50+f)^2. Отсюда f=70, \ R=150.
Максимальная выручка достигается при эластичности спроса, равной (-1). Если AD – это касательная к кривой спроса в точке A, где достигается эластичность \varepsilon=-1, то, исходя из геометрического определения эластичности, OC=CD.
Тогда CD = 0,5 \times (80 + x). \quad AD = \sqrt{(150 + x)^2 - 150^2} = \sqrt{x^2 + 300x}.
Легко доказать, что треугольники ABD и ACD подобны. Исходя из этого,
\frac{BD}{AD} = \frac{AD}{CD}; \quad \frac{150 + x}{\sqrt{x^2 + 300x}} = \frac{\sqrt{x^2 + 300x}}{0,5 \times (80 + x)}. \quad 0,5x^2 + 185x - 6000 = 0. \quad x = 30. \quad OC = CD = 0,5 \times (80 + x) = 55.
Ответ: 55.