1) Саша выберет значение r так, чтобы значение величины 4\sqrt r+7\sqrt p-r было максимальным. Заметим, что эта функция является квадратичной относительно \sqrt r, ветви параболы направлены вниз, и поэтому максимум достигается в вершине параболы (так будет со всеми функциями, которые мы будем максимизировать в данной задаче). Получаем, что \sqrt r=2, откуда r=4. Заметим, что оптимальное значение r не зависит от p, то есть от действий Максима.

Аналогично, Максим будет максимизировать величину \sqrt r+6\sqrt p-2p по p. Независимо от r, максимум достигается при p=9/4.

Подставляя найденные значения p и r в функции счастья, получаем, что уровни счастья будут равны 14,5 для Саши и 6,5 для Максима.

2) Теперь Саша будет решать максимизировать по r значение величины 4\sqrt r+7\sqrt p-(r+2p)/2. Независимо от p, максимум достигается при r=16. Максим будет максимизировать по p значение величины \sqrt r+6\sqrt p-(r+2p)/2. Независимо от r, максимум достигается при p=9. Таким образом, уровни счастья будут равны 20 для Саши и 5 для Максима. 5<6,5, и потому Максиму стало только хуже.

Почему это произошло, несмотря на то, что в пункте 2 , Максим не должен оплачивать покупку пылесоса - товара более дорогого с точке зрения цены единицы качества - самостоятельно? Все дело в том, что складчина изменила поведение соседей. В пункте 2 каждый из соседей принимает во внимание лишь половину своих расходов, ожидая, что другая половина будет оплачена другим соседом. В результате, соседи покупают гораздо более дорогие (хоть и качественные) роутер и пылесос. В данном конкретном примере, эффект от того, что Максиму приходится оплачивать половину расходов на дорогой роутер, купленный Сашей, превосходит эффект от возросшего качества роутера, и потому Максиму становится хуже.

Заметьте, что если бы соседи не изменили поведение, а выбрали те же уровни качества товаров, что и в пункте 1 , Максиму действительно стало бы лучше по сравнению с пунктом 1 .

3) Наблюдения в 2 показывают, что складчина имеет два эффекта - (i) рост качества купленных товаров и (ii) рост расходов. Это дает надежду подобрать такой пример, в котором эффект (i) будет для каждого из ребят сильнее, чем эффект (ii), и потому счастье обоих вырастет по сравнению с 1 . И действительно, такой пример можно подобрать.

Рассмотрим ситуацию, когда Максим оплачивает 40\% суммарных расходов, то есть \alpha=0,4. В этом случае Саша будет максимизировать по r 4\sqrt r+7\sqrt p-0,6(r+2p), откуда r=100/9 ; Максим будет максимизировать по p величину \sqrt r+6\sqrt p-0,4(r+2p), откуда p=225/16. Уровни счастья будут равны примерно 16>14,5 для Саши и примерно 10,14>6,5 для Максима. Таким образом, оба будут более счастливы.

То, что обоим стало лучше по сравнению с пунктом 1 , говорит о том, что ситуация в 1 была неэффективной. Неэффективность возникает из того, что в 1 каждый, хоть и учитывает полностью расходы на покупаемый им товар, не учитывает при принятии решения влияние качества покупаемого товара на счастье соседа, и потому ими покупаются товары слишком низкого (с точки зрения общества) качества. При складчине каждый не боится потратить слишком много, купив товар высокого качества, что в ряде случае может <исправить> неэффективность.