Оптимальная складчина
Саша и Максим живут в одной комнате в общежитии. Для счастливой жизни им очень нужны пылесос и WiFi -роутер. Оба соседа считают, что эти товары необходимо купить, но насчет того, какого качества должны быть эти роутер и пылесос, мнения ребят расходятся.
Счастье Саши можно рассчитать по формуле U_S=4\sqrt r+7\sqrt p-T_S, где U_S - уровень счастья Саши, r - качество роутера, p - качество пылесоса, а T_S - расходы Саши (в рублях). Счастье Максима, в свою очередь, задается уравнением U_M=\sqrt r+6\sqrt p-T_M, где T_M - расходы Максима. Роутер качества r стоит r рублей; пылесос качества p стоит 2p рублей. Каждый из ребят принимает решения так, чтобы его счастье было максимально.
1) Саша учится на экономическом факультете и не любит, когда товары находятся в коллективной собственности. Саша предлагает следующий механизм: он купит роутер, а Максим пылесос. Пользоваться обоими товарами соседи будут вместе. Определите уровни качества роутера и пылеcоса, которые будут куплены соседями, и уровни счастья соседей.
2) Максим учится на юридическом факультете и считает схему из пункта 1 несправедливой (пылесосы дороже роутеров), а свой уровень счастья в 1 слишком низким. Он предлагает следующий механизм: Саша покупает роутер, Максим пылесос, но потом расходы на оба товара делят поровну. Определите уровни качества роутера и пылеcоса, которые будут куплены соседями и уровни счастья соседей в новой ситуации. Верно ли, что счастье Максима действительно вырастет по сравнению с пунктом 1 ? Если ваш ответ <нет>, приведите содержательное экономическое объяснение того, почему Максиму не становится лучше.
3) Допустим, что, как и в пункте 2 , соседи договорились о разделении расходов, но теперь расходы можно делить не поровну. А именно, допустим, что, после того как Саша покупает роутер, а Максим - пылесос, один из друзей выплачивает другому компенсацию таким образом, чтобы Максим в итоге оплатил долю \alpha (0<\alpha<1) от суммарных расходов соседей. Можно ли подобрать \alpha таким образом, чтобы счастье каждого из соседей выросло по сравнению с пунктом 1 ? Если ваш ответ <да>, приведите содержательное экономическое объяснение того, почему это возможно.
1) Саша выберет значение r так, чтобы значение величины 4\sqrt r+7\sqrt p-r было максимальным. Заметим, что эта функция является квадратичной относительно \sqrt r, ветви параболы направлены вниз, и поэтому максимум достигается в вершине параболы (так будет со всеми функциями, которые мы будем максимизировать в данной задаче). Получаем, что \sqrt r=2, откуда r=4. Заметим, что оптимальное значение r не зависит от p, то есть от действий Максима.
Аналогично, Максим будет максимизировать величину \sqrt r+6\sqrt p-2p по p. Независимо от r, максимум достигается при p=9/4.
Подставляя найденные значения p и r в функции счастья, получаем, что уровни счастья будут равны 14,5 для Саши и 6,5 для Максима.
2) Теперь Саша будет решать максимизировать по r значение величины 4\sqrt r+7\sqrt p-(r+2p)/2. Независимо от p, максимум достигается при r=16. Максим будет максимизировать по p значение величины \sqrt r+6\sqrt p-(r+2p)/2. Независимо от r, максимум достигается при p=9. Таким образом, уровни счастья будут равны 20 для Саши и 5 для Максима. 5<6,5, и потому Максиму стало только хуже.
Почему это произошло, несмотря на то, что в пункте 2 , Максим не должен оплачивать покупку пылесоса - товара более дорогого с точке зрения цены единицы качества - самостоятельно? Все дело в том, что складчина изменила поведение соседей. В пункте 2 каждый из соседей принимает во внимание лишь половину своих расходов, ожидая, что другая половина будет оплачена другим соседом. В результате, соседи покупают гораздо более дорогие (хоть и качественные) роутер и пылесос. В данном конкретном примере, эффект от того, что Максиму приходится оплачивать половину расходов на дорогой роутер, купленный Сашей, превосходит эффект от возросшего качества роутера, и потому Максиму становится хуже.
Заметьте, что если бы соседи не изменили поведение, а выбрали те же уровни качества товаров, что и в пункте 1 , Максиму действительно стало бы лучше по сравнению с пунктом 1 .
3) Наблюдения в 2 показывают, что складчина имеет два эффекта - (i) рост качества купленных товаров и (ii) рост расходов. Это дает надежду подобрать такой пример, в котором эффект (i) будет для каждого из ребят сильнее, чем эффект (ii), и потому счастье обоих вырастет по сравнению с 1 . И действительно, такой пример можно подобрать.
Рассмотрим ситуацию, когда Максим оплачивает 40\% суммарных расходов, то есть \alpha=0,4. В этом случае Саша будет максимизировать по r 4\sqrt r+7\sqrt p-0,6(r+2p), откуда r=100/9 ; Максим будет максимизировать по p величину \sqrt r+6\sqrt p-0,4(r+2p), откуда p=225/16. Уровни счастья будут равны примерно 16>14,5 для Саши и примерно 10,14>6,5 для Максима. Таким образом, оба будут более счастливы.
То, что обоим стало лучше по сравнению с пунктом 1 , говорит о том, что ситуация в 1 была неэффективной. Неэффективность возникает из того, что в 1 каждый, хоть и учитывает полностью расходы на покупаемый им товар, не учитывает при принятии решения влияние качества покупаемого товара на счастье соседа, и потому ими покупаются товары слишком низкого (с точки зрения общества) качества. При складчине каждый не боится потратить слишком много, купив товар высокого качества, что в ряде случае может <исправить> неэффективность.