а) По сути, необходимо максимизировать функцию полезности, при ограничении КПВ и

ограничение по комплектам товаров x и y.

КПВ: y=24-2x, пересечем с кривой комплектов: y=Kx.

x=\frac{24}{2+K} (+3 балла)

Так как K \in [4; 10] \implies x \in [2; 4] и y\in[4;16] (+3 балла)

Получается, бюджетное ограничение пекаря Вовы имеет вид: y=24-2x при x\in[2;4] (+3 балла)

Ставятся также 9 баллов, если вместо аналитических расcчетов показан полноценный график с объяснением и подписанными цифрами.

Максимизация полезности: можно разными способами, как через лоб, так и предельную

норму замещения, так и через предельную полезность в точках x=2, x=4.

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{y}{x} = OC_x = 2 \Rightarrow y = 2x \Rightarrow x = 6. Однако данная точка недоступна из-за ограничения на x\in[2;4]. Следовательно, т.к. полезность убывает с отдалением от точки x=6, то берем наиближайшее возможное значение, т.е. x=4.

( +2 балла) за доказательство максимума;

( +2 балла) за максимизацию полезности (без ограничений)

( +2 балла) за x=4 и доказательство максимума в этой точке.

б) Наше бюджетное ограничение мы можем записать, как y=24-2(x_c-x_b), где x_c, x_b - количество шоколада, произведенного в начинку и для продажи, соответственно.

Количество булочек определяется количеством шоколада, которое использовали в начинку использовали (т.к. по рецепту, K ед.теста и 1 ед. шоколада) \Rightarrow полезность можно записать

как: U=x_b^*=X_b*Kx_b (все произведенные y пекарь использует только для булочек).

\begin{cases} y = 24 - 2(x_c + x_b), \, x_b \in [2; 4], \\ y = Kx_b, \, K \in [4; 10], \\ U = x_b \cdot x_c \to \max_{x_b, x_c}. \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} K x_b = 24 - 2(x_c + x_b), & x_b \in [2; 4] \\ U = x_b \cdot x_c \to \max_{x_b, x_c} \end{cases}

Очевидно, полезность строго увеличивается с уменьшением K (интуитивно, пекарю выгодно класть меньше шоколада в булочки, чтобы его продать) \Rightarrow K=4.

При максимизации полезности получим x_b=\frac{6}{1+0,5K}=2, x_c=6 \Rightarrow суммарно шоколада: x=8.

( 3 балла) за измененный вид функции полезности;

( 3 балла) за измененный вид бюджетного ограничения;

( 3 балла) за объяснение K=4 ;

( 3 балла) за объяснение доказательство максимума полезности;

( 3 балла) за x_b=2, x_c=6, x=8.