Задача 4. РЭ ПОШ - 2022 (10 класс)
В лучшей пекарне «Макбулочная» кондитер Вова готовит булочки с шоколадом. Поскольку Вова шеф-кондитер, то он сам определяет рецептуру изделий. Так, каждая булочка состоит из K\in[4;10] единиц теста (y) и одной шоколадки (x). Эти ингредиенты пекарь сам создаёт из воздуха, затрачивая только время.
На производство одной единицы шоколадки (x) у Вовы уходит 1 час времени, а на производство 1 единицы теста (y) – 0,5 часа. В течение дня он трудится в пекарне «Макбулочая» 12 часов. Кондитер не тратит время, чтобы из готового теста и шоколада сделать булочку. Суммарная полезность покупателей зависит от качества булочек, а именно от того, сколько в них теста (y) и шоколада (x), и имеет вид: U=x*y.
а) ( 15 баллов) Шеф-кондитер выбирает K, максимизируя полезность покупателей. Найдите оптимальную рецептуру (K\in[4;10]), которую выберет Вова.
б) ( 15 баллов) Опытный рекламщик предложил шеф-кондитеру продавать не только булочки, но и шоколадки (шоколадки на продажу ничем не отличаются от шоколадок в качестве начинок в булочке). Вова всё так же максимизирует полезность потребителей, функция которой имеет вид: U=b*c, где b – количество булочек (теперь для потребителей неважно, как много в них начинки), а c – шоколадки, купленные в «Макбулочной». Определите, сколько суммарно Вова произведёт шоколадок (в начинку булочек и на продажу), если он может выбирать оптимальную рецептуру (K\in[4;10]).
а) По сути, необходимо максимизировать функцию полезности, при ограничении КПВ и
ограничение по комплектам товаров x и y.
КПВ: y=24-2x, пересечем с кривой комплектов: y=Kx.
x=\frac{24}{2+K} (+3 балла)
Так как K \in [4; 10] \implies x \in [2; 4] и y\in[4;16] (+3 балла)
Получается, бюджетное ограничение пекаря Вовы имеет вид: y=24-2x при x\in[2;4] (+3 балла)
Ставятся также 9 баллов, если вместо аналитических расcчетов показан полноценный график с объяснением и подписанными цифрами.
Максимизация полезности: можно разными способами, как через лоб, так и предельную
норму замещения, так и через предельную полезность в точках x=2, x=4.
MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{y}{x} = OC_x = 2 \Rightarrow y = 2x \Rightarrow x = 6. Однако данная точка недоступна из-за ограничения на x\in[2;4]. Следовательно, т.к. полезность убывает с отдалением от точки x=6, то берем наиближайшее возможное значение, т.е. x=4.
( +2 балла) за доказательство максимума;
( +2 балла) за максимизацию полезности (без ограничений)
( +2 балла) за x=4 и доказательство максимума в этой точке.
б) Наше бюджетное ограничение мы можем записать, как y=24-2(x_c-x_b), где x_c, x_b - количество шоколада, произведенного в начинку и для продажи, соответственно.
Количество булочек определяется количеством шоколада, которое использовали в начинку использовали (т.к. по рецепту, K ед.теста и 1 ед. шоколада) \Rightarrow полезность можно записать
как: U=x_b^*=X_b*Kx_b (все произведенные y пекарь использует только для булочек).
\begin{cases} y = 24 - 2(x_c + x_b), \, x_b \in [2; 4], \\ y = Kx_b, \, K \in [4; 10], \\ U = x_b \cdot x_c \to \max_{x_b, x_c}. \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} K x_b = 24 - 2(x_c + x_b), & x_b \in [2; 4] \\ U = x_b \cdot x_c \to \max_{x_b, x_c} \end{cases}
Очевидно, полезность строго увеличивается с уменьшением K (интуитивно, пекарю выгодно класть меньше шоколада в булочки, чтобы его продать) \Rightarrow K=4.
При максимизации полезности получим x_b=\frac{6}{1+0,5K}=2, x_c=6 \Rightarrow суммарно шоколада: x=8.
( 3 балла) за измененный вид функции полезности;
( 3 балла) за измененный вид бюджетного ограничения;
( 3 балла) за объяснение K=4 ;
( 3 балла) за объяснение доказательство максимума полезности;
( 3 балла) за x_b=2, x_c=6, x=8.