Задача 4. РЭ ПОШ - 2022 (10 класс)
В лучшей пекарне «Макбулочная» кондитер Вова готовит булочки с шоколадом. Поскольку Вова шеф-кондитер, то он сам определяет рецептуру изделий. Так, каждая булочка состоит из единиц теста и одной шоколадки . Эти ингредиенты пекарь сам создаёт из воздуха, затрачивая только время.
На производство одной единицы шоколадки у Вовы уходит час времени, а на производство единицы теста – часа. В течение дня он трудится в пекарне «Макбулочая» часов. Кондитер не тратит время, чтобы из готового теста и шоколада сделать булочку. Суммарная полезность покупателей зависит от качества булочек, а именно от того, сколько в них теста и шоколада , и имеет вид: .
а) ( баллов) Шеф-кондитер выбирает , максимизируя полезность покупателей. Найдите оптимальную рецептуру , которую выберет Вова.
б) ( баллов) Опытный рекламщик предложил шеф-кондитеру продавать не только булочки, но и шоколадки (шоколадки на продажу ничем не отличаются от шоколадок в качестве начинок в булочке). Вова всё так же максимизирует полезность потребителей, функция которой имеет вид: , где – количество булочек (теперь для потребителей неважно, как много в них начинки), а – шоколадки, купленные в «Макбулочной». Определите, сколько суммарно Вова произведёт шоколадок (в начинку булочек и на продажу), если он может выбирать оптимальную рецептуру .
Ответ
а) По сути, необходимо максимизировать функцию полезности, при ограничении КПВ и
ограничение по комплектам товаров и .
КПВ: , пересечем с кривой комплектов: .
( балла)
Так как и ( балла)
Получается, бюджетное ограничение пекаря Вовы имеет вид: при ( балла)
Ставятся также баллов, если вместо аналитических расcчетов показан полноценный график с объяснением и подписанными цифрами.
Максимизация полезности: можно разными способами, как через лоб, так и предельную
норму замещения, так и через предельную полезность в точках .
Однако данная точка недоступна из-за ограничения на . Следовательно, т.к. полезность убывает с отдалением от точки , то берем наиближайшее возможное значение, т.е. .
( балла) за доказательство максимума;
( балла) за максимизацию полезности (без ограничений)
( балла) за и доказательство максимума в этой точке.
б) Наше бюджетное ограничение мы можем записать, как , где - количество шоколада, произведенного в начинку и для продажи, соответственно.
Количество булочек определяется количеством шоколада, которое использовали в начинку использовали (т.к. по рецепту, ед.теста и ед. шоколада) полезность можно записать
как: (все произведенные y пекарь использует только для булочек).
Очевидно, полезность строго увеличивается с уменьшением (интуитивно, пекарю выгодно класть меньше шоколада в булочки, чтобы его продать) .
При максимизации полезности получим , суммарно шоколада: .
( балла) за измененный вид функции полезности;
( балла) за измененный вид бюджетного ограничения;
( балла) за объяснение ;
( балла) за объяснение доказательство максимума полезности;
( балла) за