Задача 1.1.4. Круглые поля

Пусть фермер уже купил некоторое количество полей и максимизирует выручку (так как издержки уже понесены). Тогда он будет максимизировать выручку от продажи товаров на каждом отдельном поле, потому что, если x_i и y_i производятся на каком-то поле в таком количестве, что OC_{x_i} \neq \frac{P_{x_i}}{P_{y_i}}, то можно увеличить выручку на этом поле, не изменяя выручку на остальных полях.

Промаксимизируем выручку на i -том поле, опустив индекс i.

OC_x = -y' = (-1) \cdot (\sqrt{i^2 - x^2})' = \frac{x}{\sqrt{i^2 - x^2}}

\frac{x}{\sqrt{i^2 - x^2}} = \sqrt{i}

x = i \cdot \sqrt{\frac{i}{1 + i}}, \quad y = i \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + i}}, \quad TR = i \sqrt{1 + i}

Так как выручка максимизируется на каждом отдельном поле, то фермер предпочтёт купить поле, если его цена будет не больше приносимой выручки:

\frac{n}{n^2 - 1} \cdot i^2 \leq i \sqrt{1 + i}

Решая это как равенство, получаем i=n^2-1. Заметим, что степень выручки равна 1,5, а степень цены 2, поэтому при больших значениях цена будет расти сильнее. Значит фермер купит n^2-1 поле. Выручка на последнем поле составит (n^2-1)n.