Задача 1.1.4. Круглые поля
Пришельцы выжигают поля на земле, на которых можно выращивать магические водоросли (x) и картошку (y), и продают их одинокому фермеру. КПВ на i -том поле задаётся уравнением
x_i^2+y_i^2=i^2.
Пришельцы готовы продать i -тое поле по цене \frac{n}{n^2-1}*i^2, где n — целое число больше единицы. Пришельцы продают поля по порядку, то есть сначала надо купить первое, затем второе и так далее. Фермер продаёт культуры на ближайшем рынке. Цена картошки равна единице: P_y=1, а цена водорослей с поля под номером i равна P_x(i)=\sqrt i, так как неисправная летающая тарелка пришельцев оставляет на полях какие-то реагенты, делающие магические водоросли более привлекательными на каждом новом поле. Фермер максимизирует свою прибыль от продажи водорослей и картошки. Издержек кроме денег на покупку полей он не несёт. Если фермеру безразлично, покупать новое поле или нет — он купит.
а) Найдите выручку фермера с самого большого купленного поля.
\\ \\ Осенняя ВЭШ 2021
Пусть фермер уже купил некоторое количество полей и максимизирует выручку (так как издержки уже понесены). Тогда он будет максимизировать выручку от продажи товаров на каждом отдельном поле, потому что, если x_i и y_i производятся на каком-то поле в таком количестве, что OC_{x_i} \neq \frac{P_{x_i}}{P_{y_i}}, то можно увеличить выручку на этом поле, не изменяя выручку на остальных полях.
Промаксимизируем выручку на i -том поле, опустив индекс i.
OC_x = -y' = (-1) \cdot (\sqrt{i^2 - x^2})' = \frac{x}{\sqrt{i^2 - x^2}}
\frac{x}{\sqrt{i^2 - x^2}} = \sqrt{i}
x = i \cdot \sqrt{\frac{i}{1 + i}}, \quad y = i \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + i}}, \quad TR = i \sqrt{1 + i}
Так как выручка максимизируется на каждом отдельном поле, то фермер предпочтёт купить поле, если его цена будет не больше приносимой выручки:
\frac{n}{n^2 - 1} \cdot i^2 \leq i \sqrt{1 + i}
Решая это как равенство, получаем i=n^2-1. Заметим, что степень выручки равна 1,5, а степень цены 2, поэтому при больших значениях цена будет расти сильнее. Значит фермер купит n^2-1 поле. Выручка на последнем поле составит (n^2-1)n.
б) Постройте КПВ фермера при оптимальном количестве полей, можете складывать единицы водорослей с разных полей в общее количество x.
КПВ каждого из полей — часть окружности с центром в начале координат. Складывая две окружности получим окружность суммарного радиуса, так как при сложении векторным методом (то есть каждую точку одной окружности складываем с каждой точкой другой окружности) расстояние от начала координат до получающихся точек меньше или равно сумме расстояний точек на изначальных окружностях по неравенству треугольника. Равенство, когда обе точки лежат на одной прямой. Получается, при сложении двух окружностей с радиусами r_1 и r_2 получаем x^2+y^2=(r_1+r_2)^2. Последовательно складываем каждое поле, получаем сумму арифметической прогрессии в радиусе. Итоговая КПВ:
x^2 + y^2 = \left( \frac{n^2}{2} (n^2 - 1) \right)^2