S037
Этнически самобытная африканская женщина, живущая вблизи Экватора, имеет в собственности одно-единственное домашнее животное – высокоудойную африканскую козу. Каждый день женщина оставляет козу пастись, привязывая ее веревкой длиной 20 м к колышку, забитому в землю. В той местности, где проживает женщина, к северу от Экватора растет только репейник, к югу – только крапива. В течение светового дня коза съедает всю доступную для нее растительность, каждый час полностью объедая траву на одном и том же количестве квадратных метров – независимо от того, что на них растет. Коза могла бы съесть и больше, но, к сожалению, у самобытной африканской женщины нет другой веревки. Функция полезности козы имеет вид: U=X^{\alpha}Y^{1-\alpha}, где X – площадь, очищенная от репейника, Y – площадь, очищенная от крапивы. Известно, что этнически самобытная женщина, максимизируя функцию полезности козы, забивает колышек в 10 метрах севернее Экватора.
Определите с точностью до 0,1 показатель степени \alpha в функции полезности козы.
На рисунке показана окружность, внутри которой может пастись коза.
По условию AC=10. Легко доказать, что \angle BAC = \angle CAD = 60^\circ. Тогда площадь сектора ABD равна трети площади круга, т.е. \frac{400\pi}{3}.
BC = CD = \sqrt{20^2 −10^2} = 10\sqrt 3.
Площадь \triangle ABD равна 0,5*20\sqrt 3*10=100\sqrt 3. Таким образом, площадь, которую занимает крапива, равна \frac{400\pi}{3}-100\sqrt 3.
Площадь под репейником: 400 \pi - \frac{400 \pi}{3} + 100 \sqrt{3} = \frac{800 \pi}{3} + 100 \sqrt{3}.
Функция полезности козы – это функция Кобба-Дугласа. Поскольку за каждый час коза съедает одинаковое количество крапивы и репейника, то «цены» этих благ, выраженные в часах из бюджета времени козы, будут равны. Тогда условие оптимума для функции Кобба-Дугласа принимает следующий вид: \frac{1}{\alpha} X = \frac{1}{1 - \alpha} Y. \quad \frac{X}{Y} = \frac{\alpha}{1 - \alpha} = \frac{\frac{800\pi}{3} + 100\sqrt{3}}{\frac{400\pi}{3} - 100\sqrt{3}}.
Отсюда \alpha=0,8045.
Ответ: \alpha=0,8.