а) Для начала построим график издержек: (3 балла)

Примечание: за неточности в графиках возможно снятие 1-2 баллов в зависимости от ошибки.

б) Вполне очевидно, что фирма зарабатывает, когда график MR выше, чем MC, и терпит убытки, когда все наоборот.

За идею о вычислении прибыли - 2 балла

Можно найти, сколько фирма будет зарабатывать. Для этого рассчитаем площади между кривыми MR и MC.

S_1=50,S_2=70,S_3=25,S_4=10

За непосредственное вычисление прибыли в точках MR=MC - 3 балла.

Теперь посмотрим, какие прибыли могла получать фирма в точках MR=MC.

\pi(Q) = \begin{cases} -50, & Q = 5 \\ 20, & Q = 15 \\ -5, & Q = 20 \\ 5, & Q = 25 \end{cases}

За вывод о том, что Q*=20 −1 балл.

Значит, в этом году фирма производила Q=20 елок.

Примечание: возможно решение через вычисление функций общей выручки и общих издержек, НО стоит понимать, что по функции MR можно восстановить TR только с точностью до константы, которая будет различна на всех предложенных отрезках.

в)

Если экономист решил воспользоваться правилом «Если нет разницы – зачем производить больше», то он должен был найти уровни выпуска, приносящие такую же прибыль, и выбрать наименьший из них. Проще всего это сделать нарисовав график прибыли и прямую \pi=-5, и найдя значение выпуска в точке с наименьшим Q.

Нам подходят первые две точки, (в третьей точке MR=MC). Но по условию задачи мы должны брать минимальное Q, поэтому правильным ответом будет Q_1 = 5 - \frac{3\sqrt{10}}{2}, которое можно вычислить как площадь трапеции.

Пусть при произвольном Q* площадь между кривыми MC и MR будет равна 5, тогда S = \frac{Q^*(20 - 4Q^*)}{5} = 5, решив квадратное уравнение и отбросив больший корень находим правильный ответ: Q^* = 5 - \frac{3\sqrt{10}}{2}.

За вычисление правильного ответа - 5 баллов.

За обоснование того, что это именно он (сравнить со значением во второй точке или показать через график выше) - 3 балла

г) Из предложенного выше решения видно, что оптимальным выпуском для фирмы является Q*=15, в этой точке фирма заработает \pi=20. Тогда фирме нужно увеличить свой выпуск на 10 + \frac{3\sqrt{10}}{2}

За определение оптимального количества - 2 балла

За вычисление правильного ответа - 1 балл

Примечание:

Задача стоила 30 баллов в 8-9 классах и 20 баллов в 10-11 классах