Экзамены или олимпиады?
В государстве Р. проводятся олимпиады и общенациональные экзамены (ОНЭ). Их проведением занимаются два разных министерства: МОБР(ОНЭ) и МОЛП(олимпиады). Министерства конкурируют за выпускников, которые по итогам олимпиад или ОНЭ поступают в ВУЗы. Министерство получает 200 д. е. за каждого студента, который поступил соответственно с помощью того, что оно проводит. Самое удивительное в государстве Р то, что школьник может поступить и по тому, и по другому (и тогда оба министерства получат деньги) или не поступить вообще. МОЛП тратит TC=1000A^2+1000A+2000, а МОБР тратит TC=20000A^2, где A – качество заданий и проведения соответственно олимпиад или ОНЭ. A\in[0;0,5]. Вероятность поступления студента по олимпиадам/ОНЭ U_{\text{ол}} = B_{\text{ол}}A_{\text{ол}} + 0.1A_{\text{ол}}B_{\text{экз}} по олимпиадам, U_{\text{экз}} = B_{\text{экз}}A_{\text{экз}} + 0.1B_{\text{ол}}A_{\text{экз}} ; B_{\text{экз}} и B_{\text{ол}} - доли года потраченные соответственно на олимпиады и экзамены; n_{\text{ол}} – кол-во участников олимпиады. Всего 100 выпускников. 50 из них –идейные, они потратят весь год на подготовку к тому, где качество выше. 50 –рациональные. Они максимизируют сумму вероятностей поступить по олимпиадам и экзаменам. Если две альтернативы одинаковы, то школьники распределяют своё время равномерно. Найдите итоговое равновесие, если все обладают друг о друге полной информацией, затраты министерств и кол-во времени на подготовку объявляются перед началом года одновременно. Если две альтернативы для министерств одинаковы, то они предпочитают тратить меньше.
Сумма вероятностей рациональных учеников U_{\text{общ}} = B_{\text{ол}} \left( A_{\text{ол}} + 0.1A_{\text{экз}} \right) + B_{\text{экз}} \left( A_{\text{экз}} + 0.1A_{\text{ол}} \right). Максимум этой величины достигается при B_{\text{ол}} = 0, \, B_{\text{экз}} = 1, \, A_{\text{экз}} > A_{\text{ол}}; \, B_{\text{ол}} = B_{\text{экз}} = 0.5, \, A_{\text{ол}} = A_{\text{экз}} ; строго говоря в данном случае подошла бы любая комбинация B, но по условию при равенстве в выигрыше от разных альтернатив они распределяют время равномерно; B_{\text{ол}} = 1, \, B_{\text{экз}} = 0, \, A_{\text{экз}} < A_{\text{ол}}. И это поведение верно для всех 100 выпускников.
Запишем ожидаемую прибыль МОЛП для трёх разных случаев. Надо помнить, что помимо найденных ограничений, есть ещё ограничение сверху, A не может быть выше 1/2. Не забудем домножить выигрыш от олимпиадников (100*200) на их вероятность поступить по олимпиадам. подставив в неё найденные выше значения B.
\pi = \begin{cases} 19000A_{\text{ол}} - 1000A_{\text{ол}}^2, & A_{\text{ол}} > A_{\text{экз}}, \\ 10000A_{\text{ол}} - 1000A_{\text{ол}}, & A_{\text{ол}} = A_{\text{экз}}, \\ 1000A_{\text{ол}} - 100A_{\text{ол}}^2, & A_{\text{ол}} < A_{\text{экз}}. \end{cases} промаксимизируем. Как параболы ветвями вниз и увидим, что максимумы всех участков лежат вне ограничения, а значит максимум на ограничении при A_{\text{ол}}=1/2. Это доминирующая стратегия для МОЛП, и они всегда будут ставить именно это качество. У МОБР есть два варианта действий. Либо сделать A_{\text{экз}}=1/2. Тогда их ожидаемая прибыль \pi=500. Или сделать качество хуже, чем у конкурентов, и тогда \pi = 2000A_{\text{экз}} - 20000A_{\text{экз}}^2, максимизируем как параболу ветвями вниз, A_{\text{экз}}^*=1/20 ; \pi=50. Видим, что в первом варианте ожидаемая прибыль выше.
Ответ:
A_{\text{ол}} = A_{\text{экз}} = 0.5. Все 100 школьников равномерно распределят своё время. (B_{\text{ол}} = B_{\text{экз}} = 0.5).