Экзамены или олимпиады?
В государстве Р. проводятся олимпиады и общенациональные экзамены (ОНЭ). Их проведением занимаются два разных министерства: МОБР(ОНЭ) и МОЛП(олимпиады). Министерства конкурируют за выпускников, которые по итогам олимпиад или ОНЭ поступают в ВУЗы. Министерство получает д. е. за каждого студента, который поступил соответственно с помощью того, что оно проводит. Самое удивительное в государстве Р то, что школьник может поступить и по тому, и по другому (и тогда оба министерства получат деньги) или не поступить вообще. МОЛП тратит , а МОБР тратит , где – качество заданий и проведения соответственно олимпиад или ОНЭ. . Вероятность поступления студента по олимпиадам/ОНЭ по олимпиадам, ; и - доли года потраченные соответственно на олимпиады и экзамены; – кол-во участников олимпиады. Всего выпускников. из них –идейные, они потратят весь год на подготовку к тому, где качество выше. –рациональные. Они максимизируют сумму вероятностей поступить по олимпиадам и экзаменам. Если две альтернативы одинаковы, то школьники распределяют своё время равномерно. Найдите итоговое равновесие, если все обладают друг о друге полной информацией, затраты министерств и кол-во времени на подготовку объявляются перед началом года одновременно. Если две альтернативы для министерств одинаковы, то они предпочитают тратить меньше.
Ответ
Сумма вероятностей рациональных учеников Максимум этой величины достигается при ; строго говоря в данном случае подошла бы любая комбинация , но по условию при равенстве в выигрыше от разных альтернатив они распределяют время равномерно; . И это поведение верно для всех выпускников.
Запишем ожидаемую прибыль МОЛП для трёх разных случаев. Надо помнить, что помимо найденных ограничений, есть ещё ограничение сверху, не может быть выше . Не забудем домножить выигрыш от олимпиадников на их вероятность поступить по олимпиадам. подставив в неё найденные выше значения .
промаксимизируем. Как параболы ветвями вниз и увидим, что максимумы всех участков лежат вне ограничения, а значит максимум на ограничении при . Это доминирующая стратегия для МОЛП, и они всегда будут ставить именно это качество. У МОБР есть два варианта действий. Либо сделать . Тогда их ожидаемая прибыль . Или сделать качество хуже, чем у конкурентов, и тогда , максимизируем как параболу ветвями вниз, ; . Видим, что в первом варианте ожидаемая прибыль выше.
Ответ:
. Все школьников равномерно распределят своё время. .