Сумма вероятностей рациональных учеников U_{\text{общ}} = B_{\text{ол}} \left( A_{\text{ол}} + 0.1A_{\text{экз}} \right) + B_{\text{экз}} \left( A_{\text{экз}} + 0.1A_{\text{ол}} \right). Максимум этой величины достигается при B_{\text{ол}} = 0, \, B_{\text{экз}} = 1, \, A_{\text{экз}} > A_{\text{ол}}; \, B_{\text{ол}} = B_{\text{экз}} = 0.5, \, A_{\text{ол}} = A_{\text{экз}} ; строго говоря в данном случае подошла бы любая комбинация B, но по условию при равенстве в выигрыше от разных альтернатив они распределяют время равномерно; B_{\text{ол}} = 1, \, B_{\text{экз}} = 0, \, A_{\text{экз}} < A_{\text{ол}}. И это поведение верно для всех 100 выпускников.

Запишем ожидаемую прибыль МОЛП для трёх разных случаев. Надо помнить, что помимо найденных ограничений, есть ещё ограничение сверху, A не может быть выше 1/2. Не забудем домножить выигрыш от олимпиадников (100*200) на их вероятность поступить по олимпиадам. подставив в неё найденные выше значения B.

\pi = \begin{cases} 19000A_{\text{ол}} - 1000A_{\text{ол}}^2, & A_{\text{ол}} > A_{\text{экз}}, \\ 10000A_{\text{ол}} - 1000A_{\text{ол}}, & A_{\text{ол}} = A_{\text{экз}}, \\ 1000A_{\text{ол}} - 100A_{\text{ол}}^2, & A_{\text{ол}} < A_{\text{экз}}. \end{cases} промаксимизируем. Как параболы ветвями вниз и увидим, что максимумы всех участков лежат вне ограничения, а значит максимум на ограничении при A_{\text{ол}}=1/2. Это доминирующая стратегия для МОЛП, и они всегда будут ставить именно это качество. У МОБР есть два варианта действий. Либо сделать A_{\text{экз}}=1/2. Тогда их ожидаемая прибыль \pi=500. Или сделать качество хуже, чем у конкурентов, и тогда \pi = 2000A_{\text{экз}} - 20000A_{\text{экз}}^2, максимизируем как параболу ветвями вниз, A_{\text{экз}}^*=1/20 ; \pi=50. Видим, что в первом варианте ожидаемая прибыль выше.

Ответ:

A_{\text{ол}} = A_{\text{экз}} = 0.5. Все 100 школьников равномерно распределят своё время. (B_{\text{ол}} = B_{\text{экз}} = 0.5).